Научная деятельность

ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2017 год

1. Сведения о результатах, достигнутых за отчетный период 2017 года по темам НИР ИПМ ДВО РАН в рамках фундаментальных научных исследований, предусмотренных «Программой фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы» (Программа) к выполнению в 2017 г.

1.1. Два важнейших результата исследований

По направлению 1 пункта Программы. Теоретическая математика.

Получены новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для средних значений длин цепных дробей и статистик Гаусса-Кузьмина рациональных чисел с фиксированными знаменателями. Доказанные оценки улучшают результаты Портера 1975 г. в степенной шкале. (Быковский В.А., Фроленков Д.А. Асимптотические формулы для вторых моментов L-рядов голоморфных параболических форм на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем., 81:2, 2017, 5–34).

Решено функциональное уравнение f(x+y)g(x-y)=a(x)b(y)+c(x)d(y)+k(x)l(y) в классе голоморфных на всей комплексной плоскости функций f, g, a, b, c, d, k, l. Полученные результаты использованы для исследования функционального уравнения, возникающего в теории трилинейных функционально-дифференциальных уравнений и в теории многомерных теорем сложения. (А.А. Илларионов, Решение функциональных уравнений, связанных с эллиптическими функциями, Аналитическая теория чисел, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Тр. МИАН, 299, ред. М.А. Королёв, А.Г. Сергеев, МАИК, М., 2017).

1.2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ)

Получены новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для средних значений длин цепных дробей и статистик Гаусса-Кузьмина рациональных чисел с фиксированными знаменателями. Доказанные оценки улучшают результаты Портера 1975 г. в степенной шкале. (Быковский В.А., Фроленков Д.А. Асимптотические формулы для вторых моментов L-рядов голоморфных параболических форм на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем., 81:2, 2017, 5–34).

Решено функциональное уравнение f(x+y)g(x-y)=a(x)b(y)+c(x)d(y)+k(x)l(y) в классе голоморфных на всей комплексной плоскости функций f, g, a, b, c, d, k, l. Полученные результаты использованы для исследования функционального уравнения, возникающего в теории трилинейных функционально-дифференциальных уравнений и в теории многомерных теорем сложения. (А.А. Илларионов, Решение функциональных уравнений, связанных с эллиптическими функциями, Аналитическая теория чисел, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Тр. МИАН, 299, ред. М.А. Королёв, А.Г. Сергеев, МАИК, М., 2017).

Предложен новый метод для нахождения соотношений на ряды, задающие формальную группу Бухштабера. Этот метод применен в случаях, когда экспонентой группы является эллиптическая функция уровня n=2,3 и 4. Доказаны новые алгебраические соотношения на ряды, определяющие универсальную формальную группу Бухштабера. (А.В. Устинов, “Формальная группа Бухштабера и эллиптические функции малых уровней”, Матем. заметки, 102:1 (2017), 96–108; Math. Notes, 102:1, 2017, 81–91).

Исследована комбинаторная структура трехмерных непрерывных дробей Минковского-Вороного. Доказана асимптотическая устойчивость комплексов Минковского-Вороного для специальных двупараметрических семейств решеток ранга 1. Дано явное описание таких комплексов для решеток Уайта. Высказаны гипотезы о строении устойчивых комплексов Минковского-Вороного в более сложных ситуациях. (Oleg Karpenkov, Alexey Ustinov, Geometry and combinatoric of Minkowski–Voronoi 3-dimensional continued fractions, Journal of Number Theory, Volume 176, July 2017, 375-419.).

Исследована связь между последовательностями комплексных чисел, удовлетворяющих функциональным соотношениям билинейного типа и функциональными уравнениями, связанными с теоремами сложения для эллиптических функций. Полученные результаты использованы для описания множества 1-периодических гиперквазимногочленов фиксированного ранга относительно тэта-функции Якоби. (Илларионов А.А., Романов М.А. О связи между гиперэллиптическими системами последовательностей и функций // Дальневосточный математический журнал, 2017, 17:2, 169–180.).

Предложен новый метод изучения целых точек на гиперболоидах (задача Линника). Он базируется на спектральной теории автоморфных функций. При этом получаются принципиально новые оценки остаточных членов со степенным понижением. (Быковский В.А. О распределении целых точек на гиперболоиде // Дальневосточный математический журнал, 2017, 17:2, 152–157.).

Трехчленное тождество тэта-функций Якоби от двух переменных интерпретировано как соотношение Эйхлера-Шимуры. Это позволяет с помощью операторов Гекке построить новые классы тождеств подобного типа. (Быковский В.А. Соотношения Эйхлера-Шимуры // Дальневосточный математический журнал, 2017, 17:2, 147–151.).

Разработана методика вычисления электростатического потенциала, формируемого электронной плотностью системы взаимодействующих атомов. Ячейка, содержащая атомную систему, разбивается на многогранники Вороного, которые в приложении к неупорядоченной многоатомной системе представляют собой обобщения понятия ячейки Вигнера-Зейтца, используемой в теории кристаллической решетки. (Zavodinsky V.G., Gorkusha O.A. New Orbital Free Simulation Method Based on the Density Functional Theory // Applied and Computational Mathematics, 2017, 6:4, pp. 189-195.; Zavodinsky V.G., Kuzmenko A.P., Gorkusha O.A. Energetics of carbon nanotubes with open edges: Modeling and experiment // Modeling and experiment, Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2017, 8:5, pp. 635-640.).

Для конвективно доминирующих течений в областях с особенностью на основе метода декомпозиции построен div-div стабилизационный метод конечных элементов. Получена оценка скорости сходимости метода. (Рукавишников А.В. Стабилизационный численный метод решения задачи типа Озеена с особенностью // Вычислительные технологии, 2018, Т. 23 № 1, 13 с.).

Для задачи Стокса в области с тупым входящим углом построен новый весовой метод конечных элементов. (Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. Новый численный метод решения задачи Стокса в области с тупым углом // Сб. трудов XVII Всероссийской Конференции-школы молодых исследователей “Современные проблемы математического моделирования”, Абрау-Дюрсо, 11-16 сентября 2017, ЮФУ – Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 8 стр.).

Усилены предыдущие и получены новые результаты о поведении последовательностей разрещающих ядер, миноров Фредгольма и спектральных функций, построенных для последовательных усечений заданного карлемановского ядра; даны новые приложения полученных результатов к построению и обоснованию приближенного метода решения линейных интегральных уравнений второго рода в неограниченной области с некомпактными операторами, использующего эти последовательности.

Архив научных отчётов ХО ИПМ ДВО РАН