ХАБАРОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ НАУКИ
ИНСТИТУТА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Отчёты о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2016 год
1. Сведения о результатах, достигнутых за отчетный период 2016 года по темам НИР ИПМ ДВО РАН в рамках фундаментальных научных исследований, предусмотренных «Программой фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы» (Программа) к выполнению в 2016 г.
1.1. Два важнейших результата исследований
По направлению 1 пункта Программы. Теоретическая математика.
Решено функциональное уравнение, связанное с теоремами сложения для эллиптических функций. Полученные результаты использованы для нахождения всех решений функционального уравнения из теории трилинейных дифференциальных операторов в случае пяти слагаемых в правой части. (Илларионов А.А. Решение функционального уравнения, связанного с трилинейными дифференциальными операторами // Функциональный анализ и его приложения, 2016, 50:4, С. 43–54.)
Построены основы теории гиперквазимногочленов — обобщение квазимногочленов и её приложений. (Быковский В.А. Гиперквазимногочлены и их приложения // Функциональный анализ и его приложения, 2016, 50:3, С. 34–46.)
1.2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ)
Решено функциональное уравнение, связанное с теоремами сложения для эллиптических функций. Полученные результаты использованы для нахождения всех решений функционального уравнения из теории трилинейных дифференциальных операторов в случае пяти слагаемых в правой части. (Илларионов А.А. Решение функционального уравнения, связанного с трилинейными дифференциальными операторами // Функциональный анализ и его приложения, 2016, 50:4, С. 43–54.)
Построены основы теории гиперквазимногочленов — обобщение квазимногочленов и её приложений. (Быковский В.А. Гиперквазимногочлены и их приложения // Функциональный анализ и его приложения, 2016, 50:3, С. 34–46.)
Найдено точное значение статического поля напряжений в одномерной цепочке взаимодействующих гармонических осцилляторов. Для сумм, определяющих поле, получено представление через полиномы Коробова при произвольном числе осцилляторов и масштабе усреднения. (Гузев М.А., Устинов А.В. Механические характеристики модели молекулярной динамики и полиномы Коробова // Дальневосточный математический журнал, 2016, 16:1, C. 39–43.)
Решено функциональное уравнение, связанное с теоремами сложения для эллиптических функций. Полученные результаты использованы для нахождения всех решений функционального уравнения из теории трилинейных дифференциальных операторов в случае пяти слагаемых в правой части. (Илларионов А.А. Решение функционального уравнения, связанного с трилинейными дифференциальными операторами // Дальневосточный математический журнал, 2016, 16:2, C. 169–180.)
Получено новое доказательство тождества для восьмикратного произведения из теории тэта-функций с помощью элементарных арифметических методов. (Романов М.А. Арифметическая природа тождества для восьмикратного произведения // Дальневосточный математический журнал, 2016, 16:1, C. 69–82.)
Получены результаты о метрических свойствах классических цепных дробей и их обобщений. (Горкуша О.А. Simultaneous distribution of primitive lattice points in convex planar domain // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 2017, 7:1.)
Проведён численный анализ на ЭВМ задачи Озеена в вихревой форме при больших (разрывных) числах Рейнольдса. Произведен анализ выбора оптимальных параметров метода. (V.A. Rukavishnikov, A.V. Rukavishnikov. Numerical analysis of a hydrodynamics problem with small viscosity // American Institute of Physics Conference Proceedings, 1738, 2016, 030035.)
Получены асимптотические формулы для средних значений различных характеристик аддитивной полугруппы, порожденной тремя натуральными числами, прежде всего — для количества элементов, не принадлежащих данной полугруппе. Кроме того, проведен численный эксперимент, подтверждающий полученные результаты. (Воробьев И.С. К проблеме Фробениуса с тремя аргументами // Математический сборник, 2016, 207:6, С. 53–78.)
Исследована область сходимости полиномиальных рядов Фредгольма, представляющих высшие миноры непрерывных ядер Карлемана порождающих один класс некомпактных интегральных операторов. Даны применения этого результата к нахождению явного вида общего решения соответствующих интегральных уравнений Карлемана второго рода в неограниченной области. (Novitskii I.M. Some properties of the resolvent kernels for integral equations with bi-Carleman kernels // Дальневосточный математический журнал, 2016, 16:2, C. 186–208.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2015 год
1. Сведения о результатах, достигнутых за отчетный период 2015 года по темам НИР ИПМ ДВО РАН в рамках фундаментальных научных исследований, предусмотренных «Программой фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы» (Программа) к выполнению в 2015 г.
1.1. Три важнейших результата исследований
По направлению 1 пункта Программы. Теоретическая математика.
Описаны кольца коэффициентов универсальных формальных групповых законов, которые играют важную роль в алгебраической геометрии, алгебраической топологии и их приложениях в математической физике. Построены гомоморфизмы этих колец, соответствующие редукциям одного вида группового закона к другому. Доказательства опираются на теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов. (Бухштабер В.М., Устинов А.В. Кольца коэффициентов формальных групп // Математический сборник, 2015, 206:11. С. 19–60.)
Доказана асимптотическая формула для второго момента L-рядов параболических форм на критической прямой относительно конгруэнц подгрупп с равномерной оценкой остаточного члена по всем параметрам. Получена принципиально новая оценка остаточного члена в асимптотической формуле для средней длины разложений в непрерывную дробь рациональных чисел с фиксированным знаменателем. Тем самым впервые улучшен результат Портера 1975 года. (Быковский В.А., Фроленков Д.А. О втором моменте L-рядов голоморфных параболических форм на критической прямой // ДАН, 2015, 463:2, С. 133-136. Быковский В.А., Фроленков Д.А. Асимптотическая формула для свертки обобщенной функции делителей // ДАН, 2015, 465:2, С. 137-140.)
Развит аппарат, предназначенный для решения задач на трехмерных решетках. В основе подхода лежит идея редукции к предыдущей размерности, применявшаяся ранее Линником и Скубенко при исследовании целочисленных решений детерминантного уравнения det X=P, где X — матрица размера 3×3 с независимыми коэффициентами и P — растущий параметр. Предлагаемый метод применяется для изучения статистических свойств трехмерных цепных дробей Вороного–Минковского в решетках с фиксированным определителем. В частности, для среднего числа базисов Минковского доказывается асимптотическая формула со степенным понижением в остаточном члене. Этот результат можно считать трехмерным аналогом теоремы Портера о средней длине конечных цепных дробей. (Устинов А.В. О распределении решений детерминантного уравнения // Математический сборник, 2015, 206:7. С. 103–134. Устинов А.В. Трехмерные цепные дроби и суммы Клостермана // УМН, 2015, 70:3 (423), С. 107–180.)
1.2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ)
Для числа решений сравнения xy≡1(mod p) под графиком линейной функции доказана асимптотическая формула с корневым понижением в остаточном члене. (Устинов А.В. О точках модулярной гиперболы под графиком линейной функции // Математические заметки, 2015, 97:2, С. 296–301.)
Получены новые результаты о статистических свойства трехмерных полиэдров Клейна целочисленных решеток. А именно, получена асимптотическая формула для среднего числа ребер заданной целочисленной длины и исследован вопрос о зависимости частоты встречаемости ребра от его целочисленной длины. (Илларионов А.А. Некоторые свойства трехмерных полиэдров Клейна // Математический сборник, 2015, 206:4, C. 35–66. Илларионов А.А. О распределении целочисленных длин ребер полиэдров Клейна // Дальневосточный математический журнал, 2015, 15:2, C. 214–221.)
Рассмотрена стационарная краевая задача для двумерных уравнений Навье–Стокса однородной несжимаемой жидкости с заданным на границе полным напором и ненулевыми потоками. Доказана разрешимость задачи при условии, что решение близко к потенциальному. (Илларионов А.А., Илларионова Л.В. Стационарные решения двумерных уравнений Навье–Стокса с большими потоками // Дальневосточный математический журнал, 2015, 15:1, С. 61–69.)
Метод Т. Карлемана (1923) вычисления спектральных функций эрмитова ядра с помощью спектральных функций его усечений распространен на интегральные уравнения второго рода в неограниченной области с непрерывными неэрмитовыми ядрами Карлемана, порождающими некоторый специальный класс операторов скалярного типа (по Данфорду).
Разработан приближённый метод решения задач гидродинамики с сильной сингулярностью, вызванной как геометрическими, так и физическими особенностями задачи. Метод позволяет учитывать закон сохранения массы не в слабом, а в сильном смысле на ячейках разбиения области. Создан комплекс программ для эффективного решения задачи гидродинамики при больших (не постоянных) числах Рейнольдса.
Вычислены первые коэффициенты Фурье первых “новых” и “старых“ собственных функций дискретного спектра для конгруэнц-подгруппы уровня 2 модулярной группы. Построены графики уровней и поверхностей этих функций.
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2014 год
1. Сведения о результатах, достигнутых за отчетный период 2014 года по темам НИР ИПМ ДВО РАН в рамках фундаментальных научных исследований, предусмотренных «Программой фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013 - 2020 годы» (Программа) к выполнению в 2014 г.
1.1. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2014 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
По направлению 1 пункта Программы. Теоретическая математика.
Разработан принципиально новый метод изучения свойств решёток в евклидовых пространствах, основанный на оценках сумм Клостермана. С его помощью получены новые результаты о распределении целых точек на детерминантной поверхности. (Быковский В.А. О распределении целых точек на детерминантной поверхности // Дальневосточный математический журнал – 2014. 14:2. С. 156–159.)
Разработан аналитический аппарат, предназначенный для решения задач на трёхмерных решётках. С его помощью изучены статистические свойства трёхмерных цепных дробей Вороного - Минковского. В частности, для среднего числа базисов Минковского доказана асимптотическая формула со степенным понижением в остаточном члене. Этот результат можно считать трёхмерным аналогом теоремы Портера о средней длине конечных цепных дробей. (Берник В.И., Устинов А.В. О распределении точек модулярной гиперболы // Дальневосточный математический журнал – 2014. 14:2. С. 141–155.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2013 год
1. Сведения о результатах, достигнутых за отчетный период 2013 года по темам НИР ИПМ ДВО РАН в рамках фундаментальных научных исследований, предусмотренных «Программой фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013 - 2020 годы» (Программа) к выполнению в 2013 г.
1.1. Три важнейших результата исследований, полученных в 2013 году в ХО ИПМ ДВО РАН
По направлению Программы 1. Современные проблемы теоретической математики.
Частично решена задача В.И. Арнольда о статистических свойствах многогранников Клейна. А именно, получены асимптотические формулы для средних значений количества граней фиксированного типа и вершин полиэдров Клейна трехмерных целочисленных решёток с заданным определителем (ХО ИПМ ДВО РАН, Илларионов А.А.)
Доказаны новые результаты, связанные с теоретико-числовой моделью спиновых цепочек. Решена задача Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина для квадратичных иррациональностей (ХО ИПМ ДВО РАН, Устинов А.В.)
В последние двадцать лет был установлен точный порядок приближения нуля модулями значений целочисленных многочленов от действительной и комплексной переменной. Однако в случае сходимости ряда, состоящего из правых частей неравенств, в классической теореме Хинчина условие монотонности правой части можно опустить. Показано, что в комплексном случае условие монотонности несущественно и для многочленов произвольной степени (ХО ИПМ ДВО РАН, Бударина Н.В.)
1.2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2013 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
По направлению пункта 1 Программы. Теоретическая математика.
Доказаны новые результаты, связанные с теоретико-числовой моделью спиновых цепочек. Решена задача Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина для квадратичных иррациональностей. (Устинов А.В. Спиновые цепочки и задача Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина для квадратичных иррациональностей. // Математический сборник. 2013. 204:5. С. 143-160.)
Частично решена задача В.И. Арнольда о статистических свойствах многогранников Клейна. А именно, получены асимптотические формулы для средних значений количества граней фиксированного типа и вершин полиэдров Клейна трехмерных целочисленных решёток с заданным определителем. (Илларионов А.А. О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток. // Математический сборник. 2013. 204:6. С. 23-46.)
Получена новая вероятностная оценка для отклонения взвешенной суммы по неполным частным разложения дробей с фиксированным знаменателем в непрерывную дробь от среднего значения. (Авдеева М.О., Быковский В.А. Статистические свойства конечных непрерывных дробей с фиксированным знаменателем. // Доклады Академии наук. 2013. 449:3. С. 255-258.)
Предложен новый арифметический метод доказательства классических разложений
для тройного, пятикратного и восьмикратного произведений из теории тэта-функций.
(Быковский В.А., Монина М.Д. Арифметические тождества, ассоциированные с
квадратичными формами, и их приложения. // Доклады Академии наук. 2013.
449:5. С. 503-506.
Быковский В.А., Монина М.Д. Об арифметической природе некоторых тождеств
теории эллиптических функций. // Дальневост. матем. журн. 2013. 13:1.
С. 15-34.)
В последние двадцать лет был установлен точный порядок приближения нуля модулями значений целочисленных многочленов от действительной и комплексной переменной. Однако в случае сходимости ряда, состоящего из правых частей неравенств, в классической теореме Хинчина условие монотонности правой части можно опустить. Показано, что в комплексном случае условие монотонности несущественно и для многочленов произвольной степени. (Бударина Н.В. Проблема Малера в поле комплексных чисел с немонотонной правой частью. // Матем. заметки. 2013. 93:6. С. 812-820.)
Доказан неоднородный аналог теоремы типа Грошева в случае сходимости для невырожденных кривых в евклидовом пространстве, когда функция аппроксимации является не обязательно монотонной. Результат естественно включает в себя и обобщает теорему для меры множества точек невырожденных кривых в однородном случае. В доказательстве используются неоднородный метод переноса и метод существенных и несущественных областей Спринджука. (Budarina N.V. Inhomogeneous Diophantine approximation on curves with non-monotonic error function. // Дальневост. матем. журн. 2013. 13:2. С. 164-178.)
По направлению пункта 2 Программы. Вычислительная математика, параллельные и распределённые вычисления.
Проведён численный анализ модельной задачи, полученной в результате
дискретизации по времени и линеаризации задачи течения двухфазной вязкой
жидкости без перемешивания в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса
с изменяющейся во времени криволинейной межфазной границей. Рассмотрен случай
течения, у которого диффузия не преобладает, т.е. случай малых (разрывных)
коэффициентов вязкости. Для этого в приближенную постановку задачи внесена
grad-div стабилизация. Получены оценки скорости сходимости приближённого
решения к точному решению в различных сеточных нормах.
(Рукавишников А.В. Численное решение задачи гидродинамики с криволинейной
межфазной границей. // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. 6:3.
С. 354-363.
Rukavishnikov A.V. Numerical Analysis of a Hydrodynamics Problem with a
Curved Interface. // Lecture Notes in Computer Science. 2013. Vol. 8236,
P. 463-470.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2012 год
1. Важнейшие результаты исследований, полученные в 2012 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
По направлению Программы 1. Современные проблемы теоретической математики.
Получены принципиально новые оценки для отклонения сеток Коробова от равномерного распределения (ХО ИПМ ДВО РАН, Быковский В.А.)
Получено многомерное обобщение классического результата Хейльбронна о средней длине конечной цепной дроби фиксированного знаменателя (ХО ИПМ ДВО РАН, Илларионов А.А.)
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2012 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
По направлению Программы 1. Современные проблемы теоретической математики.
Получены принципиально новые оценки для отклонения сеток Коробова от равномерного распределения. (Быковский В.А. Отклонение сеток Коробова // Известия Российской академии наук. Серия математическая - 2012. 76:3. С. 19-38.)
Получено многомерное обобщение классического результата Хейльбронна о средней длине конечной цепной дроби фиксированного знаменателя. (Илларионов А.А. Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя. // Известия Российской академии наук. Серия математическая - 2012. 76:3. С. 111-138.)
Получена асимптотическая формула для среднего количества цилиндрических минимумов многомерных решеток. (Илларионов А.А. О цилиндрических минимумах целочисленных решеток. // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24. Вып. 2. С. 154-170.)
Получена асимптотическая формула для среднего количества локальных минимумов многомерных решеток. (Илларионов А.А. О статистических свойствах локальных минимумов целочисленных решеток. // Дальневосточный математический журнал. 2012. Т. 12. № 2. С. 201-230.)
Предложено новое доказательство формулы Рёдсета для чисел Фробениуса, основанное на геометрической интерпретации цепных дробей. (Устинов А.В. Геометрическое доказательство формулы Рёдсета для чисел Фробениуса. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. - 2012. Т. 276. С. 280-287.)
Трёхмерное многообразие Фано рода 6 — это пересечение грассманова многообразия G(2,5) (множество прямых в 4-мерном пространстве) с 2 гиперплоскостями и квадрикой. Доказано, что их поверхность Фано гладкая и неприводимая, найдены её числа Ходжа и другие инварианты. Доказана теорема о касательном расслоении для этих трёхмерных многообразий. (Логачев Д.Ю. Fano threefolds of genus 6. // Asian Journal of Mathematics. 2012. Vol. 16. № 3. P. 515-559.)
Существуют гипотетические связи между L-функциями подмотивов многообразий Шимуры и L-функциями соответствующих редуктивных групп, согласно работам Ленглендса - Артура. Эти гипотезы использованы для того, чтобы получить явные соотношения между собственными числами операторов Гекке (образующих алгебры Гекке) на подмотивах (n-1)-ых когомологий многообразий Зигеля (это — частный случай многообразий Шимуры) рода g, где n=g(g+1)/2 — размерность соответствующего многообразия Зигеля. (Логачев Д.Ю. Relations between conjectural eigenvalues of Hecke operators on submotives of Siegel varieties. // Дальневосточный математический журнал. 2012. Т. 12. № 1. С. 60-85.)
Общее линейное интегральное уравнение 3-го рода в $L^2(Y,\mu)$ сведено унитарным преобразованием к эквивалентному интегральному уравнению 1-го или 2-го рода в $L^2(\mathbb R)$ с ядром, представляющим собой линейный пучок ограниченных, бесконечно дифференцируемых бикарлемановских ядер мерсеровского типа. (Новицкий И.М. A Kernel Smoothing Method for General Integral Equations. // Дальневосточный математический журнал. 2012. Т. 12. № 2. С. 255-261.)
Исследованы эргодические системы, соответствующие $\Omega$-дробям. Получено почти для всех иррациональных чисел из интервала от 0 до 1 распределение последовательности коэффициентов аппроксимации $\Omega$-дроби. (Горкуша О.А. Некоторые метрические свойства $\Omega$-дробей. // Чебышевский сборник. Тула. 2012. T 13. Вып. 2. С. 28-53; "Теория вероятностей и ее приложения" Международная конференция. Московский государственный университет. 26-30 июля 2012. С. 28-30.)
Получена классификация минимальных систем векторов в произвольных трехмерных решетках (ранее она была построена Минковским только для решёток общего положения). На основе классификации для произвольных решёток доказан трёхмерный аналог классической теоремы Валена о приближениях вещественных чисел соседними подходящими дробями. (Устинов А.В. Минимальные системы векторов в трехмерных решетках и аналог теоремы Валена для трехмерных цепных дробей Минковского. // Современные проблемы математики. 2012. Вып. 16. С. 103-128.)
Классический детерминантный метод Фредгольма для решения интегральных уравнений в компактной области распространен на интегральные уравнениям второго рода на вещественной оси с ядром, являющимся линейным относительно параметра пучком непрерывных ядер Гильберта-Шмидта мерсеровского типа (И.М. Новицкий. On Fredholm's Integral Equations on the Real Line, Whose Kernels Are Linear in a Parameter// eprint arXiv:1210.1134 [mathSP] (03 Oct 2012) 5 с.)
По направлению Программы 3. Вычислительная математика, параллельные и распределённые вычисления.
Доказаны оценки скорости сходимости приближённого решения к точному решению задачи, полученной в результате дискретизации по времени и линеаризации математической модели течения двухфазной вязкой несжимаемой жидкости без перемешивания. (Рукавишников А.В. Неконформный метод конечных элементов для одной задачи гидродинамики с криволинейным интерфейсом // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 6. С. 1072-1094; Рукавишников А.В. Об оценке точности для одной задачи гидродинамики с разрывными коэффициентами в норме пространства $L_2(\Omega_h)$. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. 15. № 1. С. 110-122.)
По направлению Программы 4. Математическое моделирование в науке и технике.
Рассмотрена возможность нахождения электронной плотности и полной энергии нейтральной многоатомной системы с помощью вариационного принципа Хоэнберга-Кона. Для демонстрации работоспособности предлагаемого принципа реализован программный вариант и протестирован на простейших двухатомных системах. (Горкуша О.А., Заводинский В.Г. A Simple Quantum Mechanics Way to Simulate Nanoparticles and Nanosystems without Calculation of Wave Functions. // International Scholarly Research Network, ISRN Nanomaterials. 2012. Vol. 2012, Article ID 551965, 3 pages [электронный ресурс]; Горкуша О.А., Заводинский В.Г. На пути к адекватному моделированию наносистем, состоящих из миллионов атомов. // <Нанотехнологии функциональных материалов> Международная научно-техническая конференция, Санкт-Петербургский Государственный политехнический университет, 27-29 июня 2012 г. Сборник трудов. С. 118-120.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2011 год
1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2011 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Получена асимптотическая формула для среднего количества относительных минимумов многомерных целочисленных решеток фиксированного определителя. Этот результат можно рассматривать как многомерное обобщение классической формулы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби (ХО ИПМ ДВО РАН, Илларионов А.А.)
Получена нетривиальная оценка дисперсии суммы неполных частных, ограниченных некоторой величиной, возникающих при разложении в цепную дробь рационального числа с фиксированным знаменателем. В качестве следствия получен закон больших чисел для суммы всех неполных частных. (ХО ИПМ ДВО РАН, Рукавишникова М.Г.)
Рассмотрена неоднородная задача теории упругости с криволинейным интерфейсом между материалами. Для решения задачи применен метод декомпозиции области в сочетании с аппроксимацией задачи при помощи неконформного метода конечных элементов. Для полученной системы линейных алгебраических уравнений построен эффективный итерационный метод с блочным переобусловливанием матрицы системы. Разработана программа численного решения задачи. Проведен анализ численных экспериментов. (ХО ИПМ ДВО РАН, Рукавишников А.В.)
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2011 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Получена асимптотическая формула для среднего количества относительных минимумов многомерных целочисленных решеток фиксированного определителя. Этот результат можно рассматривать как многомерное обобщение классической формулы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби. (A.A. Illarionov // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 1:4 (2011); А.А. Илларионов // Препринт № 01 ХО ИПМ ДВО РАН, Владивосток: Дальнаука, 2011, 18 с.)
Получена нетривиальная оценка дисперсии суммы неполных частных, ограниченных некоторой величиной, возникающих при разложении в цепную дробь рационального числа с фиксированным знаменателем. В качестве следствия получен закон больших чисел для суммы всех неполных частных. (Рукавишникова М.Г. // Математические заметки. 2011. Т. 90, Вып. 3. С. 431-444.)
Рассмотрена неоднородная задача теории упругости с криволинейным интерфейсом между материалами. Для решения задачи применен метод декомпозиции области в сочетании с аппроксимацией задачи при помощи неконформного метода конечных элементов. Для полученной системы линейных алгебраических уравнений построен эффективный итерационный метод с блочным переобусловливанием матрицы системы. Разработана программа численного решения задачи. Проведен анализ численных экспериментов. (Рукавишников А.В. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11, № 2. С. 190-200; Рукавишников А.В.// Торическая топология и автоморфные функции: тезисы докладов Международной конференции, Хабаровск, 5 - 10 сентября 2011 г. Тезисы докладов. 2011. Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та. С. 173-174.)
Исследованы примитивные представления бинарных положительно определенных классически целочисленных квадратичных форм над локальными кольцами. При переходе к глобальному кольцу получен эффективный метод определения, когда квадратичная форма является примитивно 2-универсальной. (Бударина Н.В. // Алгебра и анализ. Т. 23, Вып. 3. С. 31-62.)
Доказано совпадение спектров автоморфных лапласианов с точностью до кратности для пар конгруэнц-подгрупп модулярной группы $\{\Gamma_0(16N), \Gamma_0(8N)\}$ и $\{\Gamma_0(64N), \Gamma_0(32N)\}$, где $N$ - натуральное нечетное. Получена формула размерности подпространств автоморфных форм для подгрупп $\Gamma_0(16N)$ и $\Gamma_0(64N)$. (Головчанский В.В., Смотров М.Н. // Алгебра и анализ. Т. 23, Вып. 4., С. 31-39.)
Предложено новое доказательство разложений тэта-функций, скрученных с квадратичными характерами по модулю 4 и 3, в бесконечное произведение. Оно опирается на метод логарифмического дифференцирования Эйлера и простейшие арифметические соображения. (Бударина Н.В., Быковский В.А. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т.11, № 2. С. 140-148.)
Доказаны асимптотические формулы для математического ожидания длин конечных диагональных и эллиптических дробей Минковского. (Горкуша О.А. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11, № 1. С. 11-27.)
Получена асимптотическая формула для среднего количества цилиндрических минимумов трехмерных целочисленных решеток с определителем из заданного отрезка. Полученный результат может использоваться для исследования статистических свойств многомерных наилучших приближений, а также для анализа сложности алгоритма Вороного (построения единиц в кубических числовых полях) и его обобщений. (Илларионов А.А. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т.11, № 1. С. 37-47.)
Получены новые оценки максимального и среднего количества относительных минимумов многомерных целочисленных решеток. (А.А. Илларионов, Ю.А. Сойка // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11, № 2. С. 149-154.)
Впервые дано конструктивное доказательство того, что интегральное уравнение третьего рода с произвольными измеримыми коэффициентом и ядром эквивалентно интегральному уравнению первого или второго рода с ядром, представляющим собой линейный пучок ограниченных, бесконечно гладких карлемановских ядер мерсеровского типа; указаны некоторые возможные приложения этого результата в прикладной и технической математике. (Novitskii I.M. Kernels of integral equations can be boundedly infinitely differentiable on $\mathbb R^2$ // Proceedings of 2011 World Congress on Engineering and Technology -- CET 2011, Vol. 2, IEEE Press, 2011, P. 789-792.)
Исследованы статистики Гаусса-Кузьмина для рациональных чисел $a/b$, где $b$ фиксировано, $1\le a\le b$, $(a,b)=1$. Для среднего значения статистик Гаусса-Кузьмина доказана асимптотическая формула, уточняющая ранее известный результат, аналогичный теореме Портера. (Устинов А.В. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11, № 1. С. 93-98.)
Полностью доказана теорема Вороного о цилиндрических минимумах решеток общего положения, которая лежит в основе алгоритма поиска единиц в комплексных кубических полях. (В оригинальном доказательстве теоремы Вороного и ее переизложении, данном Делоне и Фаддеевым, часть содержательных случаев не была разобрана.) Кроме того, теорема распространяется на случай произвольных решеток. (Устинов А.В. // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11, № 2. С. 213-221.)
Описаны разработанные за последние годы новые методы решения асимптотических задач геометрии чисел. Полученные результаты лежат на стыке теории чисел, анализа алгоритмов, линейного программирования и статистической физики. В частности, решены задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина и о слабой асимптотике для чисел Фробениуса трех аргументов, задача Синая о статистических свойствах nраекторий частиц в двумерных кристаллах. (Устинов А.В. // Приложения сумм Клостермана в арифметике и геометрии. LAMBERT Academic Publishing, 2011).
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2010 год
1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2010 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Доказано новое арифметическое тождество, которое в двух частных случаях превращается в тождества Лиувилля и Скоруппы. (ХО ИПМ ДВО РАН, Быковский В.А.)
Впервые вычислена плотность распределения нормированных чисел Фробениуса от трех аргументов. (ХО ИПМ ДВО РАН, Устинов А.В.)
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2010 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Изучено поведение константы C(s) при s→∞, которая возникает при оценке количества относительных минимумов s-мерных целочисленных решеток через логарифм в степени s-1 от величины определителя решетки. (Авдеева М.О., Быковский В.А. // Математические заметки. 2010, 87:4, С. 483 - 491.)
Для средней длины алгоритма Евклида с нечетными неполными частными доказаны асимптотические формулы, аналогичные тем, которые были известны для классического алгоритма Евклида. (Устинов А.В. // Математические заметки. 2010, 88:4, С. 594 - 604.)
Доказана теорема, подобная теореме Хинчина (случай сходимости), для совместных диофантовых приближений нуля знаменателями многочленов в поле действительных, комплексных и р-адических чисел. (Budarina Natalia, Dickinson Detta, Bernik Vasili // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2010, 149:2, РP. 193 - 216.)
Построена теория представлений абсолютно и равномерно сходящимися билинейными рядами бесконечно дифференцируемых ядер несамосопряженных, некомпактных биинтегральных операторов в неограниченных областях, которая существенно расширяет классические теоремы Мерсера и Кадоты. (Новицкий И.М. // International Electronic Journal of Pure and Applied Mathematics (IEJPAM). 2010, 2:1, PP. 43 - 73.)
Найдена мера и размерность Хаусдорфа множества совместно ψ-аппроксимируемых точек, лежащих на полиномиальных кривых, для достаточно малой функции аппроксимации ψ. (Бударина Н.В. // Lithuanian Mathematical Journal. 2010, 50:2, PP. 140 - 163.)
Рассмотрены примитивные представления целочисленных квадратичных форм и построен алгоритм, определяющий условия, достаточные для почти универсальности квадратичной формы от 4-х и более переменных. Этот результат является первым аналогом Теоремы 15 для примитивных представлений квадратичных форм. (Бударина Н.В. // Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics. 2010, 56:1, PP. 77 - 85.), (Бударина Н.В. // Материалы VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. 2010, С. 54 - 57.)
Предложена новая реконструкция доказательства Феодора иррациональности некоторых чисел, опирающаяся на перевод Т.В. Васильевой, которая подтверждает предположение А.А. Тахо-Годи. (Быковский В.А. // Дальневосточный математический журнал. 2010, 10:1, С. 3 - 8.)
Получены асимптотические формулы для среднего числа относительных минимумов и
вершин многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток фиксированного
определителя. Они обобщают известный результат Хейльбронна о средней длине
конечной цепной дроби на двумерный случай.
(Илларионов А.А. // Сб. «Наука - Хабаровскому краю: материалы XII краевого
конкурса молодых ученых», Хабаровск, Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та. 2010. С. 5 - 15.)
(Илларионов А.А. // Владивосток: Дальнаука. 2009, 32 с. (Препринт / ДВО РАН.
Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 05))
(Илларионов А.А. // Владивосток: Дальнаука. 2010, 29 с. (Препринт / ДВО РАН.
Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 02))
Предложен конструктивный способ отыскания в терминах ядра точечной и непрерывной частей характеристического множества произвольного самосопряженного карлемановского интегрального оператора. (Новицкий И.М. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. С. 129 - 135.)
Получены двусторонние оценки для средних значений количества относительных минимумов и k-мерных граней полиэдров Клейна целочисленных решеток фиксированного определителя. Оценки совпадают с точностью до констант, зависящих только от размерности решеток. (Слинкин Д.А. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. С. 151 - 154.)
В двумерном случае найдено распределение векторов приведенных базисов, описана плотность распределения кратчайших векторов в целочисленных решетках и плотность распределения длины второго базисного вектора. (Устинов А.В. // Geometry, Topology, Algebra and Number Theory, Applications. // The International Conference dedicated to the 120th anniversary of Boris Nikolaevich Delone (1890 - 1980). Abstracts. Moscow. August 16 - 20, 2010. C. 143.)
Для двумерных целочисленных решеток найдено достаточное условие равенства параметра оптимальности Бахвалова и его дискретного эллиптического варианта. (Авдеева М.О. // Материалы VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2010. С. 20 - 21.)
Получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению в $L_2$ - норме для задачи типа Стокса с криволинейным интерфейсом. (Рукавишников А.В. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2010, С. 435 - 351.)
Рассмотрена задача, полученная в результате дискретизации по времени задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. Построен приближенный метод решения исходной задачи, и получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению задачи в специальных нормах. (Рукавишников А.В. // Владивосток: Дальнаука. 2010, 25 с. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 01))
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2009 год
1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2009 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Решена задача Синая о статистических свойствах траекторий частиц в двумерной кристаллической решетке. При этом найдена совместная плотность распределения трех параметров: длины свободного пробега, входного и выходного прицельного параметров (расстояний от траектории до начального и конечного узлов). (Быковский В.А., Устинов А.В. // Известия РАН. Серия математическая. 2009, 73:4. С. 17-36.)
Решена задача Арнольда существования слабой асимптотики для чисел Фробениуса с тремя аргументами. В качестве следствия доказана гипотеза Дейвисона о среднем значении нормированных чисел Фробениуса с тремя аргументами. При этом установлено, что для троек взаимно простых в совокупности чисел (a, b, c) числа Фробениуса ведут себя как $8\pi^{-1}(abc)^{1/2}$. (Устинов А.В. // Математический сборник. 2009, 200:4. С. 131-160.)
Доказано, что утверждение леммы Хопфа не обобщается на случай произвольных соленоидальных вектор-функций и получено полное описание множества функций на которые это утверждение распространяется. Речь идет об известной открытой проблеме математической гидродинамики, связанной с существованием стационарных решений уравнений Навье-Стокса при наличии внутренних источников и стоков. В этом направлении также доказано существование решения двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса с заданным на границе полным напором, тангенциальной составляющей вектора скорости, фиксированными внутренними источниками и стоками при любых числах Рейнольдса и выполнении условий симметрии относительной некоторой прямой. (Илларионов А.А. // Сиб. матем. журн. 2009, 50:4. С. 831-835. Илларионов А.А. // Дифференц. Уравнения. 2009, 45:8. С. 1116-1125.)
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2009 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Получено полное решение задачи Дж. фон Неймана (1935) о приведении линейных операторов к интегральному виду в новой постановке, когда от ядра приведенного оператора требуется бесконечная дифференцируемость и равномерное стремление к нулю на бесконечности любой его частной и любой его сильной производных. Результаты применены для улучшения аналитических свойств ядер в общих линейных интегральных уравнениях. (Novitskii I.M. // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009, 54:3. P. 359-374. Novitskii I.M. // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. 56:2. P. 265-280.)
Доказано существование предельного распределения для нормированных чисел Фробениуса от трех аргументов. При решении получены новые статистические свойства элементов цепных дробей. (Shchur V., Sinai Ya., Ustinov A. // Journal of Number Theory. 2009, 129:11. Р. 2778-2789.)
Получены новые результаты о среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором наименьшего по модулю остатка. (Устинов А.В. // Математические заметки. 2009, 85:1. С.153 - 156.)
Найдены совместные плотности распределения элементов цепных дробей, связанных с распределением чисел Фробениуса от трех аргументов. (Устинов А.В. // Доклады Академии Наук. 2009, 424:4. С. 459-461.)
Для классов периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в $\ell_p$-норме получена правильная в степенной шкале двусторонняя оценка оптимальной погрешности квадратурных формул при всех $p\in(1,2)$. Этот результат дополняет результат В.Ф. Льва для случая, когда $p\in[2,\infty]$. (Романов М.А. // Математические заметки. 2009, 85:3. С. 433-439.)
В категории модулей, на которых справа действует полная модулярная группа, построены аналоги пространств модулярных форм Эйхлера-Шимуры (модули Эйхлера - Шимуры), включая теорию операторов Гекке. Доказана бесконечномерность подпространства Эйхлера-Шимуры. (Быковский В.А. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 29-37. Быковский В.А. // Тезисы докладов XXXIV ДВМШ "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук. 2009, С. 14-16.)
Получена асимптотическая формула для среднего значения количества минимумов целочисленных полных решеток относительно ограниченной, замкнутой, выпуклой области на плоскости, содержащей некоторую окрестность точки начала координат и симметричной относительно координатных осей. (Горкуша О.А. // Тезисы докладов XXXIV ДВМШ "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук. 2009, С. 18-20.)
Получены арифметические формулы следа Сельберга и дзета-функций Сельберга для конгруэнц-подгруппы, явное выражение для чисел классов примитивных гиперболических элементов конгруэнц-подгруппы уровня $N$ через числа классов примитивных элементов конгруэнц-подгруппы уровня $N_1=N/p^i, (N,N_1)=1$ и точная оценка сверху чисел классов по уровню $N$. (Головчанский В.В., Смотров М.М. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 48-73.)
Предложена программа для обобщения результата Колывагина о группах Тейта-Шафаревича эллиптических кривых на случай, связанной с мотивами когомологий многообразий Шимуры высоких размерностей и модулярных многообразий Дринфельда. (Логачев Д.Ю. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 105-130.)
Изучено распределение длин отрезков между точками целочисленной решетки внутри расширяющегося квадрата. В качестве следствия получено предельное распределение для углов между лучами, выходящими из начала координат в примитивные узлы целочисленной решетки. (Устинов А.В. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 176 - 181.)
Получена нетривиальная оценка дисперсии суммы неполных частных, ограниченных некоторой величиной, возникающих при разложении в цепную дробь рационального числа с фиксированным знаменателем. В качестве следствия получен закон больших чисел для суммы всех неполных частных. (Рукавишникова М.Г. // Препринт № 01 // ХО ИПМ ДВО РАН. 2009, 16 с.)
Для задачи Стокса с разрывным коэффициентом вязкости применен метод декомпозиции области в сочетании с аппроксимацией задачи на подобластях при помощи неконформных конечных элементов. Для полученной системы линейных уравнений построен итерационный метод с блочным переобуславливанием матрицы системы. Создан комплекс программ на ЭВМ для решения задачи Стокса с прямолинейным интерфейсом между подобластями. (Рукавишников А.В. // Вычислительные технологии. 2009. 14:2. С. 110-123.)
Рассмотрена задача, полученная в результате дискретизации по времени задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с непрерывно изменяющимся во времени интерфейсом. Построен неконформный метод конечных элементов задачи и получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению задачи в специальных нормах. (Рукавишников А.В. // Препринт № 02 // ХО ИПМ ДВО РАН. 2009, 40 с. Рукавишников А.В. // Тез. докл. XXXIV ДВМШ им. Ак. Е.В. Золотова "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук". 2009. С. 114-116.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2008 год
1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2008 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Доказан асимптотический закон распределения простых чисел среди значений знаменателей непрерывных дробей почти всех вещественных чисел. (Быковский В.А. // Известия РАН. Серия математическая. 2008, 72:2. С. 65-82.)
Получены принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для первого и второго моментов числа шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А.В. // Известия РАН. Серия математическая. 2008. 72:5. С. 189-224.)
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2008 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
В задаче Синая о статистических свойствах траекторий частиц, движущихся в двумерной кристаллической решетке, исследован однородный (траектория начинается в начале координат) случай. Найдена плотность совместного распределения длины свободного пробега и прицельного параметра (расстояния от траектории до центра первой пересеченной окрестности). В остаточном члене асимптотической формулы для плотности получено корневое понижение. (Быковский В.А., Устинов А.В. // Функциональный анализ и его приложения. 2008, 42:3, С. 10-22.)
Для конгруэнц-подгруппы $\Gamma_0(N)$ получена явная формула количества примитивных гиперболических элементов данной нормы через числа классов неопределенных квадратичных форм. (Головчанский В.В., Смотров М.Н. // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 7. С. 63-84.)
Получена правильная с точностью до константы, зависящей от размерности и ранга, оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток произвольного ранга (Илларионов А.А. // ДАН. 2008. Т. 418, № 2; Наука - Хабаровскому краю. Материалы X краевого конкурса молодых ученых. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2008. С. 65-75).
Получены новые оценки сумм Клостермана и новая оценка остаточного члена в задаче о числе решений сравнения $xy\equiv0(\mod q)$ под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции. В качестве приложения доказано обобщение результата Портера о средней длине алгоритма Евклида на случай статистик Гаусса-Кузьмина и уточнен остаточный член в соответствующей асимптотической формуле. (Устинов А.В. // Алгебра и анализ. Т. 20 (2008). № 5. С. 186-216.)
Рассмотрена переопределенная краевая задача для систем Стокса и Навье-Стокса, в которой на части границы области задается вектор напряжений и конечное число нелокальных условий. Доказано существование устойчивого решения в линейном случае и локальная разрешимость - в нелинейном. (Илларионов А.А. // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 6. С. 1056-1061)
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости некоторых экстремальных задач для уравнения Пуассона и системы Стокса с некоэрцитивным целевым функционалом в пространстве Соболева H1. (Илларионов А.А. // Дальневосточный матем. журн. 2008. Т. 8. № 2. С. 24-30.).
Произведён сравнительный анализ итерационных методов для одной задачи механики сплошной среды с использованием графической интерпретации. (Бабенко В.С., Рукавишников А.В. // Ученые записки Дальневосточного государственного университета путей сообщения. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС. 2008. Т.2. С. 14-18.)
Определена новая вариационная постановка задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с непрерывно изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. (Рукавишников А.В. // Математическое моделирование. 2008. 20:3. С. 3-8.)
ОТЧЁТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2007 год
1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2007 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Доказаны неулучшаемые по порядку оценки погрешности оптимальных квадратурных формул на классах периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в норме $\ell_p$. При этом открыто явление фазового перехода: свойство оптимальности формулы прямоугольников, выполняющееся при $2\le p<\infty$, нарушается при $1<p<2$. (Быковский В.А., Романов М.А. // ДАН, 2007, т. 416, № 6. С. 727-731).
Разработан новый метод, основанный на оценках сумм Клостермана, для изучения поведения в среднем количества знаменателей цепной дроби действительного числа, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах, уточняющие полученные ранее теоретико-вероятностными методами. (Устинов А. В. // Математический сборник. 198, № 6 (2007), 139-158).
2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2007 году в ХО ИПМ ДВО РАН.
Доказаны неулучшаемые по порядку оценки погрешности оптимальных квадратурных формул на классах периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в норме $elll_p$. При этом открыто явление фазового перехода: свойство оптимальности формулы прямоугольников, выполняющееся при $2\le p<\infty$, нарушается при $1<p<2$. (Быковский В.А., Романов М.А. // ДАН, 2007, т. 416, № 6. С. 727-731).
Разработан новый метод, основанный на оценках сумм Клостермана, для изучения поведения в среднем количества знаменателей цепной дроби действительного числа, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах, уточняющие полученные ранее теоретико-вероятностными методами. (Устинов А. В. // Математический сборник. 198, № 6 (2007), 139-158).
Получена новая асимптотическая формула для среднего числа шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А.В. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида.- Материалы IX краевого конкурса молодых ученых, Хабаровск, ТОГУ (2007), 149-157)
Доказаны новые асимптотические формулы для первого и второго моментов случайной величины, равной числу шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А. В. Асимптотическое поведение первого и второго моментов для числа шагов в алгоритме Евклида.-Изв. РАН (в печати)).
Рассмотрена переопределенная краевая задача для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области, в которой на части границе задается условие Неймана и конечное число нелокальных условий. Доказано, что в линейном случае задача имеет хотя бы одно устойчивое решение. В нелинейном случае доказана локальная разрешимость. (Илларионов А.А. Нелокальная краевая задача с переопределением для эллиптического уравнения // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. 10, № 2. С. 64-69).
Исследован вопрос о возможности обобщения леммы Хопфа, которая используется
при доказательстве разрешимости краевых задач для стационарных уравнений
Навье-Стокса несжимаемой жидкости на случай ненулевых потоков. К вопросу о
разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса с
ненулевыми потоками.
(Илларионов А.А. Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара
им. ак. Е.В. Золотова. - Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 68, 69.
Илларионов А.А. Некоторые замечания о лемме Хопфа // Вестник ТоГУ. 2007
(в печати).)
Доказана правильная, с точностью до константы, зависящей от размерности,
оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток произвольного
ранга.
(Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных
решеток. XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика
Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 16, 17.
Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных
решеток // Чебышевский сб. 2007. Т. 7. Вып. 4.
Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных
решеток произвольного ранга // ДАН. 2007. Т. 418, № 2)
Исследованы T-мотивы Андерсона - функциональных аналогов абелевых многообразий. Для них определено понятие двойственности (аналог соответствующего понятия для абелевых многообразий), доказан ряд теорем и сформулированы гипотезы. (Логачев Д.Ю. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0711/0711.1928v1.pdf).
Для задачи Стокса с разрывным коэффициентом вязкости определена новая
обобщённая постановка, учитывающая условия согласования решения на линии
раздела жидкостей (условия слабой непрерывности). В качестве дискретизации
задачи построен неконформный метод конечных элементов (МКЭ), получены оценки
скорости сходимости приближённого решения к точному в нормах специальных
пространств
(Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. Неконформный метод конечных
элементов для задачи Стокса с разрывным коэффициентом
// Сибирский журнал индустриальной математики. - Т. 10, № 4(32). - 2007.
C. 104-117.
Рукавишников А.В. Об оценке точности в норме пространства $L_2( )$
// Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке:
труды Пятой Международной научной конференции творческой молодежи,
17-19 апреля 2007 г. В 6 т. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, Т. 4. - 2007.-
С. 105-109).
С помощью неконформного МКЭ выполнена дискретизация задачи течения
двухфазной несжимаемой, не перемешивающейся жидкости с непрерывно
изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. Построена модификация
итерационного алгоритма Удзавы с блочным переобуславливанием матрицы
системы, полученной в результате дискретизации исходной системы
(Рукавишников А.В. Построение численного метода решения задачи течения
двухфазной жидкости// Инновационные технологии - транспорту и промышленности:
труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных
вузов, инженерных работников и представителей академической науки,
7-9 ноября 2007 г.; под ред. Ю.А. Давыдова. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС,
2007. С. 53-58.
Рукавишников А.В. Построение неконформного метода конечных элементов
решения задачи течения двухфазной жидкости с криволинейным интерфейсом
// XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика
Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2007. - C. 93-94).
Улучшена верхняя оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток фиксированного определителя. (Авдеева М.О. Верхняя оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток. // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.6-7).
Получена асимптотическая формула (аналог оценки Хейльбронна) для среднего
значения непрерывных дробей специального вида
(Горкуша О.А. О среднем значении длин конечных непрерывных дробей специального
вида. XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика
Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.13.
Gorkusha O. Analogue of Heilbronn's theorem for the Minkowskii's finite
continued fractions. 25th Journees Arithm'etiques July 2-6, 2007.)
Для несимметричных гладких ядер Карлемана мерсеровского типа в неограниченной области установлено двупараметрическое семейство дифференциальных неравенств, означающих диагональное преобладание симметричных смешанных производных. В качестве приложения получены оптимальные оценки для норм Соболева собственных функций интегральных уравнений с такими ядрами ( Novitskii I.M., Integral representations of unbounded operators by infinitely smooth bi-Carleman kernels. Journal for Analysis and its Applications. 2008 (в печати))
Получены явная формула числа классов примитивных гиперболических элементов с данным следом для конгруэнц-подгрупп модулярной группы и, как следствие, двусторонняя оценка числа классов. (Головчанский В.В., Смотров М.Н. Явная формула числа классов примитивных гиперболических элементов группы Г0(N). // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.12-13).