Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Сингулярности квазилинейных дифференциальных уравнений


А. О. Ремизов

2023, выпуск 1, С. 85-105
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202308


Аннотация
Исследуются решения квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в их особых точках, где коэффициент при старшей производной обращается в нуль. Рассматриваются решения, входящие в особые точки как с определенным касательным направлением (решения), так и без оного (осциллирующие). Показано, что в типичном случае осциллирующих решений нет, а правильные решения входят в особую точку не в произвольных, а в строго определенных направлениях. Получено локальное представление правильных решений в форме, подобной рядам Ньютона-Пюизе.

Ключевые слова: особые точки, нормальные формы, резонансы, инвариантные многообразия, осциллирующие решения.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] А. Ф. Филиппов, “Единственность решения системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных”, Дифференц. уравн., 41:1 (2005), 87–92.
[2] R. Lamour, R. Marz, C. Tischendorf, Differential-algebraic equations. A projector based analysis, Springer, Berlin, 2013.
[3] J. Sotomayor, M. Zhitomirskii, “Impasse singularities of differential systems of the form A(x)x’ = F(x)”, J. Differ. Equations, 169:2 (2001), 567–587.
[4] R. Ignat, L. Nguyen, V. Slastikov, A. Zarnescu, “Uniqueness results for an ODE related to a generalized Ginzburg-Landau model for liquid crystals”, SIAM J. Math. Anal., 46 (2014), 3390–3425.
[5] L. V. Lokutsievskiy, M. I. Zelikin, “The analytical solution of Newton’s aerodynamic problem in the class of bodies with vertical plane of symmetry and developable side boundary”, ESAIM, Control Optim. Calc. Var., 26:paper 15 (2020), 36 p.
[6] А. В. Аминова, Н. А.-М. Аминов, “Проективная геометрия систем дифференциальных уравнений второго порядка”, Матем. сб., 197:7 (2006), 3–28.
[7] V. A. Yumaguzhin, “Differential invariants of second order ODEs. I”, Acta Appl. Math., 109:1 (2010), 283–313.
[8] А. О. Ремизов, “Геодезические на двумерных поверхностях с псевдоримановой метрикой: особенности смены сигнатуры”, Матем. сб., 200:3 (2009), 75–94.
[9] А. О. Ремизов, “О геодезических в метриках с особенностями типа Клейна”, УМН, 65:1 (2010), 187–188.
[10] A. O. Remizov, “On the local and global properties of geodesics in pseudo-Riemannian metrics”, Differ. Geom. Appl., 39 (2015), 36–58.
[11] A. O. Remizov, F. Tari, “Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics”, Geom. Dedicata, 185:1 (2016), 131–153.
[12] N. G. Pavlova, A. O. Remizov, “A brief survey on singularities of geodesic flows in smooth signature changing metrics on 2-surfaces”, Singularities and foliations. Geometry, topology and applications, Springer Proc. Math. Stat.. V. 222, Springer, Cham, 2018, 135–155.
[13] Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов, “Завершение классификации типичных особенностей геодезических потоков в метриках двух классов”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:1 (2019), 119–139.
[14] A. Honda, K. Saji, K. Teramoto, “Mixed type surfaces with bounded Gaussian curvature in three-dimensional Lorentzian manifolds”, Adv. Math., 365:Article ID 107036 (2020), 46 p.
[15] И. А. Богаевский, Д. В. Туницкий, “Особенности многозначных решений квазилинейных гиперболических систем”, Труды МИАН, 308 (2020), 76–87.
[16] А. Д. Брюно, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979.
[17] А. Д. Брюно, “Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения”, УМН, 59:3 (2004), 31–80.
[18] А. А. Давыдов, “Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки”, Функц. анализ и его прил., 19:2 (1985), 1–10.
[19] A. A. Davydov, G. Ishikawa, S. Izumiya, W.-Z. Sun, “Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane”, Japanese J. Math. 3rd Ser., 3:1 (2008), 93–119.
[20] S. Izumiya, W.-Z. Sun, “Singularities of solution surfaces for quasilinear first-order partial differential equations”, Geom. Dedicata, 64:3 (1997), 331–341.
[21] S. Izumiya, F. Tari, “Self-adjoint operators on surfaces with singular metrics”, JDCS, 16:3 (2010), 329–353.
[22] M. Lange-Hegermann, D. Robertz, W. M. Seiler, M. Seiss, “Singularities of algebraic differential equations”, Adv. Appl. Math., 131:Article ID 102266 (2021), 56 p.
[23] J. Liang, “A singular initial value problem and self-similar solutions of a nonlinear dissipative wave equation”, J. Differ. Equations, 246:2 (2009), 819–844.
[24] L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales-Gonz ?alez, S. M. Voronin, “Analytic classification of foliations induced by germs of holomorphic vector fields in (Cn, 0) with non-isolated singularities”, JDCS, 25:3 (2019), 491–516.
[25] A. O. Remizov, “Multidimensional Poincar ?e construction and singularities of lifted fields for implicit differential equations”, J. Math. Sci., 151:6 (2008), 3561–3602.
[26] A. O. Remizov, “Geodesics in generalized Finsler spaces: singularities in dimension two”, J. Singul., 14 (2016), 172–193.
[27] W. M. Seiler, M. Seiss, “Singular initial value problems for scalar quasi-linear ordinary differential equations”, J. Differ. Equations, 281 (2021), 258–288.
[28] R. Ghezzi, A. O. Remizov, “On a class of vector fields with discontinuities of divide-by-zero type and its applications to geodesics in singular metrics”, JDCS, 18:1 (2012), 135–158.
[29] В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, “Обыкновенные дифференциальные уравнения.”, Итоги науки и техники. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл., 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140.
[30] M.W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lect. Notes Math., 583, Springer-Verlag, Berlin, 1977.
[31] В. С. Самовол, “Эквивалентность систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки”, Тр. ММО, 44 (1982), 213–234.
[32] В. С. Самовол, “Критерий C1-гладкой линеаризации автономной системы в окрестности невырожденной особой точки”, Матем. заметки, 49:3 (1991), 91–96.
[33] R. Roussarie, “Mod`eles locaux de champs et de formes”, Asterisque, 30 (1975), 1–181.
[34] Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов, “Гиперболические поля Руссари с вырожденной квадратичной частью”, УМН, 76:2 (2021), 183–184.
[35] N. G. Pavlova, A. O. Remizov, “Smooth local normal forms of hyperbolic Roussarie vector fields”, Moscow Math. J., 21:2 (2021), 413–426.
[36] Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей”, УМН, 46:1 (1991), 3–39.

К содержанию выпуска