Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Волновые пакеты в граничных задачах квантовой механики


И. Б. Краснюк

2023, выпуск 1, С. 34-54
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202305


Аннотация
Рассматривается система двух независимых линейных квантовых уравнений с символами, которые представляют собой полиномы \textit{n}-го порядка. Граничные условия являются нелинейными и связывают функциональным образом амплитуды прямой и обратной волновых функций с помощью отображения $\Phi :I \mapsto I$. Показано, что: 1) если отображение $ \Phi $ линейно, то амплитуда падающей волны при $ t\rightarrow\infty $ сходится к нулю или бесконечности; 2) если $ \Phi $ нелинейна, но однозначна, то амплитуда падающей волны сходится при $ t\rightarrow\infty $ к 2-периодической кусочно-постоянной функции с единственной точкой разрыва на периоде; 3) если $ \Phi $ многозначна, то возможны асимптотически периодические кусочно-постоянные распределения квадрата амплитуды волновой функции с конечным или бесконечным множествами точек разрыва на периоде. Такие предельные решения мы будем называть распределениями предтурбулентного или турбулентного типа. Даны приложения к исследованию возникновения пространственно-временных светлых и темных асимптотических солитонов в ограниченном резонаторе с нелинейной обратной связью между амплитудами двух встречных оптических лучей на поверхности резонатора.

Ключевые слова: линейные квантовые уравнения, граничные условия, солитоны.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, Москва, 1981.
[2] А. С. Мищенко, Б.Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, Наука, Москва, 1978.
[3] В. П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Наука, Москва, 1978.
[4] R. Pezer, H. Buljan, G. Bavtal, O. Cohen, M. Segal, “Gap random-phase lattice solitons”, OSA Technical Digest, 13:13 (2005), 5013–5023.
[5] А. Н. Маймнстров, “Оптические cолитоны”, Сороcoвский образовательный журнал, 1999, No 11, 97–102.
[6] H. Buljan, M. Segev, M. Soljaci?, N. K. Efremidis, D. N. Christodoulides, “White-light solitons”, Opt. Lett., 28:14 (2003), 1239–1241.
[7] А. Н. Шарковский, Ю. А. Майстренко, Е.Ю. Романенко, Разностные уравнения и их приложения, Наукова думка, Киев, 1986.
[8] E. Yu. Romanenko, A. N. Sharkovsky, “From Boundary Value Problems to Difference Equations: A Method of Investigation of Chaotic Vibrations”, Intern. J. Bif. and Chaos, 9:07 (1999), 1285–1306.
[9] E. Yu. Romanenko, “Randomness in deterministic difference equations”, Journal of Difference Equations and Applications, 16:1 (2010), 243–268.
[10] A. N. Sharkovsky, E. Yu. Romanenko, “Turbulence: Ideal”, Encyclopedia of Nonlinear Science, Rontedge, New York, 2005, 955–957.
[11] A. Avila, M. Lyubich, W. de Melo, “Regular or stochastic dynamics in real analytic families of unimodal maps”, Inventiones mathematicae, 154 (2003), 451–550.
[12] E. Yu. Romanenko, “On attractors of continuous difference equations and long-time behaviour of solutions”, J. Difference equations and Appl., 9:3-4 (2003), 263–280.
[13] A. N. Sharkovsky, E. Yu. Romanenko, “Ideal turbulence: Attractors of deterministic systems may lay in the space of random fields”, Intern. J. Bif. and Chaos, 2:1 (1982), 31–36.

К содержанию выпуска