Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Глобальная разрешимость трёхмерной осесимметричной задачи Стефана для квазилинейного уравнения


А. Г. Подгаев, В. Я. Прудников, Т. Д. Кулеш

2022, выпуск 1, С. 61-75
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202206


Аннотация
Методами компактности доказываются результаты, относящиеся к обоснованию разрешимости задачи с неизвестной границей. Используются теоремы об относительной компактности, полученные в предыдущих публикациях и приспособленные к исследованию задач типа задачи Стефана с неизвестной границей. Для рассматриваемого здесь уравнения ранее была изучена начально-краевая задача в нецилиндрической области с заданной криволинейной границей класса $W^1_2$ и задача, для которой в условии на неизвестной границе коэффициент скрытой удельной теплоты плавления (в отличие от задачи Стефана, рассматриваемой здесь) являлся неизвестной величиной. Поэтому в некоторых местах будут опущены выкладки, почти полностью совпадающие с изложенными в указанных ниже работах. Методика может быть применена в значительно более общих ситуациях, включая большее число границ фазового перехода и замену оценки второй производной решения на оценку некоторого агрегата, встречающегося в квазилинейных уравнениях. В итоге установлена регулярная разрешимость однофазной осесимметричной задачи Стефана для квазилинейного трехмерного параболического уравнения с неизвестной границей класса $W_4^1$, причем в целом по времени. Уравнение описывает процессы фазовых переходов вещества из одного состояния в другое. Граница фазового перехода неизвестна и определяется вместе с решением.

Ключевые слова: задача Стефана, относительная компактность, нецилиндрическая область, неизвестная граница

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] A. M. Бородин, “Задача Стефана”, Український математичний вiсник, 8 (2011), 17–54.
[2] A. M. Мейрманов, О. А. Гальцева, В. Е. Сельдемиров, “О существовании обобщенного решения в целом по времени одной задачи со свободной границей”, Матем. заметки, 107:2 (2020), 229–240.
[3] J. Bollati, A. D. Tarzia, “One-phase Stefan problem with a latent heat depending on the position of the free boundary and its rate of change”, Electronic Journal of Di?erential Equations, 2018:10 (2018), 1–12.
[4] В. Н. Белых, “Корректность одной нестационарной осесимметричной задачи гидродинамики со свободной поверхностью”, Сибирский математический журнал, 58:4 (2017), 728–744.
[5] Ж. О. Тахиров, Р. Н. Тураев, “Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического уравнения”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 28:3 (2012), 8–16.
[6] J. Bollati, D.A. Tarzia, “Explicit solution for the one-phase Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face”, Communications in Applied Analysis, See http://arxiv.org/abs/1610.09338 2017.
[7] Ф. Ли, Д. Лу, “Распространение решений для уравнения диффузии реакции со свободными границами в периодической среде”, Электрон. J. Дифференциальные уравнения, 2018, № 185, 1–12.
[8] D. A. Tarzia, “A bibliography on moving-free boundary problems for the heat-diffusion equation. The Stefan and related problems”, MAT-Serie A, 2000, No 2, 1–297.
[9] А. Г. Подгаев, “Разрешимость осесимметричной задачи для нелинейного параболического уравнения в областях с нецилиндрической или неизвестной границей. I”, Челяб. физ.-матем. журнал, 5:1 (2020), 44–55.
[10] А. Г. Подгаев, “О теоремах компактности, связанных с задачами с неизвестной границей”, Математические заметки СВФУ, 28:4 (2021), 71–89.
[11] Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989.
[12] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973.
[13] A. M. Meirmanov, The Stefan Problem, Walter de Gruyter, Berlin, 1992.

К содержанию выпуска