Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


О количестве относительных минимумов целочисленных решеток


А. А. Илларионов, Ю. А. Сойка

2011, выпуск 2, С. 149–154


Аннотация
Пусть $E_s(N)$ — среднее количество относительных минимумов $s$-мерных целочисленных решеток определителя $N$. В работе доказывается, что для любого простого $N$ справедливы оценки
$$
\frac{2^{?1}}{(s?1)!}+O_s\left(\frac{1}{\ln N}\right) \le \frac{E_s(N)}{\ln^{s?1}N} \le \frac{2^s}{(s?1)!}+O_s\left(\frac{1}{\ln N}\right)
$$
\noindent Отсюда, в частности, вытекает новая нижняя оценка для максимального количества относительных минимумов.

Ключевые слова: относительный минимум, многомерная непрерывная дробь

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Г. Ф. Вороной, Собрание сочинений в 3-х томах, т. 1, АН УССР, Киев, 1952.
[2] H. Minkowski, “Generalisation de la theorie des fraction continues”, Ann. Sci. E?cole Norm. Sup., 13:2 (1896), 41–60.
[3] В. А. Быковский, “О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул”, ДАН, 389:2 (2003), 154–155.
[4] Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, МЦНМО, М., 2004.
[5] М. О. Авдеева, “Оценка количества локальных минимумов целочисленных решеток”, Чебышевский сборник, 5:4 (2004), 35–38.
[6] О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский, “Об оценках гиперболической дзета-функции решеток”, Чебышевский сборник, 6:2 (2005).
[7] М. О. Авдеева, “О нижних оценках количества локальных минимумов целочисленных решеток”, Фундаментальная и прикладная математика, 11:6 (2005), 9–14.
[8] М. О. Авдеева, В. А. Быковский, “Верхние и нижние оценки константы Вороного-Минковского”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 483–491.
[9] H. Heilbronn, “On the average length of a class of finite continued fractions”, Abhandlungen aus zahlentheorie und Analysis, VEB, Berlin, 1968, 89–96.
[10] J. W. Porter, “On a theorem of Heilbronn”, Mathematika, 22:1 (1975), 20–28.
[11] А. А. Илларионов, Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя, Препринт ХО ИМП ДВО РАН № 2, ДальНаука, Владивосток, 2010.
[12] A. A. Illarionov, “Multidimentional generalisation of Heilbronn's theorem about average length of finite continued fractions”, Abstracts of 27th Journees Arithmetiques, 2011.
[13] Дж. В. Касселс, Введение в геометрию чисел, Мир, М., 1995.

К содержанию выпуска