Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


О цилиндрических минимумах трехмерных решеток


А. А. Илларионов

2011, выпуск 1, С. 37–47


Аннотация
Ненулевой узел $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$ трехмерной решетки $\Gamma$ назовем цилиндрическим минимумом $\Gamma$, если не существует другого ненулевого узла $\eta=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ такого, что
$$
\eta^2_1+\eta^2_2 \le \gamma^2_1+\gamma^2_2, \quad |\eta_3|\le |\gamma_3|, \quad |\gamma|<|\eta|.
$$
\noindent В работе доказывается, что среднее значение количества цилиндрических минимумов трехмерных целочисленных решеток с определителем из отрезка $[1;N]$ равно
$$
C?\ln N+O(1),
$$
\noindent где C — некоторая абсолютная постоянная, для которой получено явное аналитическое выражение.

Ключевые слова: минимум решетки, многомерная непрерывная дробь

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Г. Ф. Вороной, Собрание сочинений в 3-х томах, т. 1, Изд-во АН УССР, Киев, 1952.
[2] G. Lochs, “Statistik der Teilnenner der zu den echten Bru?chen geho?rigen regelma?ssigen Kettenbru?che”, Monatsh. Math., 65 (1961), 27–52.
[3] H. Heilbronn, “On the average length of a class of finite continued fractions”, Number Theory and Analysis, Papers in Honor of Edmund Landau, Plenum, New York, 1969, 87–96.
[4] А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 23 (2011) (в печати).
[5] Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, “Теория иррациональностей третьей степени”, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 11, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1940, 3–340.
[6] П. Г. Л. Дирихле, Лекции по теории чисел, ОНТИ, М.–Л., 1936.

К содержанию выпуска