Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Экспериментальное исследование проблемы Фробениуса для трех аргументов


И. С. Воробьёв

2011, выпуск 1, С. 3–9


Аннотация
В статье описаны результаты численных экспериментов, связанных с проблемой Фробениуса. В частности, построены графики плотности распределения величин $frac{f(a,b,c)}{sqrt{abc}}$, $frac{N(a,b,c)}{sqrt{abc}}$ и $frac{N(a,b,c)}{f(a,b,c)}$, где $f(a,b,c)$ — модифицированное число Фробениуса (наибольшее целое $M$ такое, что уравнение $ax+by+cz=M$ не имеет решений в натуральных числах) и $N(a,b,c)$ — модифицированный род полугруппы, порожденной числами $a,b,c$. Для тех же отношений найдены приближенные значения математических ожиданий. В статье также доказано новое неравенство для рода $N(a,b,c) \ge \frac{5\sqrt{3}}{9}\sqrt{abc}$.

Ключевые слова: цепные дроби, числа Фробениуса

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] V. Arnold, Arnold’s Problems, Springer, 2005 mathscinet.
[2] S. M. Johnson, “A linear diophantine problem”, Canad. J. Math, 1960, no. 12, 390–398.
[3] O. Ro?dseth, “On a Linear Diophantine Problem of Frobenius”, J. Reine Angew. Math, 301 (1978), 171–178
[4] E. S. Selmer and O?. Beyer, “On the linear diophantine problem of Frobenius in three variables”, J. Reine Angew. Math, 301 (1978), 161–170.
[5] J. Marklof, “The asymptotic distribution of Frobenius numbers”, Inventiones mathematicae, 181:1, 179–207.
[6] А. В. Устинов, “Решение задачи Арнольда о слабой асимптотике для чисел Фробениуса с тремя аргументами”, Матем. сб., 200:4 (2009), 131–160.
[7] O. Ro?dseth, “Weighted multi-connected loop networks”, Discrete Mathematics, 148:1-3 (1996), 161–173.
[8] L. G. Fel, “Weak asymptotics in the 3-dim Frobenius problem”, Funct. Anal. Other Math., 2009, no. 2, 179–202.
[9] H. S. Wilf, “A circle-of-lights algorithm for the “money-changing problem”, Am. Math. Monthly, 85 (1978), 562–565.
[10] В. И. Арнольд, Экмпериментальное наблюдение математических фактов, МЦНМО, М., 2006.
[11] M. Beck, D. Einstein, Sh. Zacks, “Some experimental results on the Frobenius problem”, Experiment. Math., 12:3 (2003), 263–269.
[12] D. Beihoffer, J. Hendry, A. Nijenhuis, S. Wagon, “Faster algorithms for Frobenius numbers”, Electron. J. Combin., 12:1 (2005), research paper 27.
[13] А. В. Устинов, “О распределении чисел Фробениуса с тремя аргументами”, Изв. РАН сер. матем., 74:5 (2010), 145–170.
[14] J. L. Davison, “On the Linear Diophantine Problem of Frobenius”, Journal of Number Theory, 48:3 (1994), 353–363
[15] J. Marklof, A. Stro?mbergsson, Diameters of random circulant graphs, arXiv: 1103.3152v1.

К содержанию выпуска