Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


О максимуме мебиусова инварианта в задаче с четырьмя неналегающими областями


Д. А. Кириллова

2010, выпуск 1, С. 41–49


Аннотация
Пусть $r(D,a)$ — конформный радиус области $D$ относительно точки $a$. Установлена точная верхняя грань произведения
$$
\prod_{k=1}^{4}\frac{r(D_{k},a_{k})}{|a_{k+1}-a_{k}|}, \quad a_{5}:=a_{1}
$$
по всевозможным наборам попарно неналегающих односвязных областей $D_{k}\subset\overline{\mathbb{C}}$ и точек $a_{k}\in D_{k}$, $k=1,\ldots,4$. Методом внутренних вариаций Шиффера получен вид квадратичного дифференциала, ассоциированного с задачей о максимуме аналогичного произведения в случае произвольного числа областей. Затем для четырех областей задача сводится к исследованию круговых областей относительно соответствующего квадратичного дифференциала.

Ключевые слова: конформный радиус, мёбиусовы инварианты, экстремальные разбиения, квадратичный дифференциал

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного пременного, Наука, М., 1966, 628 с.
[2] В. Н. Дубинин, “Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного”, Успехи математических наук, 49:1 (1994), 3–76.
[3] Г. В. Кузьмина, “Методы геометрической теории функций I, II”, Алгебра и анализ, 9:3 (1997), 41–103 (5, 1–50); 5, 1–50.
[4] М. А. Лаврентьев, “К теории конформных отображений”, Труды физ. мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 5, 1934, 159–245.
[5] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном анализе, 73, Iн-т математики НАН Украiни, 2008, 308 с.
[6] Г. В. Кузьмина, “К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей”, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 100, 1980, 131–145.
[7] С. И. Федоров, “О максимуме одного конформного инварианта в задаче о неналегающих областях”, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 112, 1981, 172–183.
[8] А. К. Бахтин, “Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами”, Доклады РАН, 405:2 (2005), 151–153.
[9] В. Н. Дубинин, Д. А. Кириллова, “К задачам об экстремальном разбиении”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 357, 2008, 54–74.
[10] Г. В. Кузьмина, Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 139, 1980, 241 с.

К содержанию выпуска