Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Механика упругих микрополярных оболочек


Л. М. Зубов, В. А. Еремеев

2003, выпуск 2, С. 182–225


Аннотация
В данной работе представлена общая статическая теория микрополярных оболочек в случае конечных деформаций. Приводятся различные формулировки краевых задач нелинейной статики упругих оболочек и их вариационные формулировки. Получены нелинейные уравнения совместности деформаций упругих оболочек Коссера и деформационные граничные условия. Изучается ряд универсальных деформаций (универсальных решений) задач статики микрополярных оболочек. Строится теория для изолированных и непрерывно распределенных дислокаций в упругой микрополярной оболочке. В рамках методов механики континуума рассматриваются Фазовые превращения мартенситного типа, исследуются термодинамические равновесные соотношения. Используя вариационный принцип Лагранжа, установлены условия фазового равновесия, формулируется кинетическое уравнение, описывающее движение фазовой линии в случае малых отклонений от термодинамического равновесия. Рассматриваются приложения теории микрополярных оболочек к моделированию механического поведения клеточных и липидных мембран.

Ключевые слова:

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшинский, “Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц”, ФТТ, 2:7 (1960), 1399–1409.
[2] А. А. Вакуленко, “Связь микро- и макросвойств в упругопластических средах”, Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела, 22, ВИНИТИ, М., 1991, 3–54.
[3] В. С. Бойко, Р. И. Гарбер, А. М. Косевич, Обратимая пластичность кристаллов, Наука, М., 1991, 280 с.
[4] К. З. Галимов, Основы нелинейной теории тонких оболочек, Казань, 1975.
[5] Р.Геннис, Биомембраны. Молекулярная структура и функции, Мир, М., 1997, 624 с.
[6] А. Л. Гольденвейзер, Теория упругих тонких оболочек, Наука, М., 1976, 512 с.
[7] М. А. Гринфельд, Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений, Наука, М., 1990, 312 с.
[8] И. Дьярмати, Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы, Мир, М., 1974.
[9] В. А. Еремеев, “Фазовые превращения в оболочках Коссера”, Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки, 2001, Спецвыпуск. Математическое моделирование, 64–67.
[10] В. А. Еремеев, Л. М. Зубов, “Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой”, Докл. РАН, 326:6 (1992), 968–971.
[11] В. А. Еремеев, Л. М. Зубов, “Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями”, Изв. РАН. МTT, 1994, № 3, 181–190.
[12] В. А. Еремеев, Л. М. Зубов, “Теория упругих и вязкоупругих микрополярных жидкостей”, ПММ, 63:5 (1999), 801–815.
[13] П. де Жен, Физика жидких кристаллов, Мир, М., 1982, 304 с.
[14] П. А. Жилин, “Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек”, Тр. Ленингр. политехн. ин-та, 386, 1982, 29–46.
[15] Л. М. Зубов, “Статико-геометрическая аналогия и вариационные принципы в нелинейной безмоментной теории оболочек”, Тр. 12 Всес. конф. по теории оболочек и пластин, т. 2, Изд-во Ерев. ун-та, Ереван, 1980, 171–176.
[16] Л. М. Зубов, Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек, Изд-во РГУ, Ростов н/Д, 1982.
[17] Л. М. Зубов, “Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках”, Изв. АН СССР. МТТ, 1989, № 4, 139–145.
[18] Л. М. Зубов, “Вариационные принципы и инвариантные интегралы для нелинейно-упругих тел с моментными напряжениями”, Изв. АН СССР. МТТ, 1990, № 6, 10–16.
[19] Л. М. Зубов, “Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в упругих оболочках”, Изв. РАН. МТТ, 1996, № 6, 102–110.
[20] Л. М. Зубов, “Общие решения нелинейной статики упругих оболочек”, Доклады РАН, 382:1 (2002), 58–61.
[21] Л. М. Зубов, “О теории равновесия нелинейно упругих оболочек”, Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки, 2001, Спецвыпуск. Математическое моделирование, 85–89.
[22] Л. М. Зубов, “О больших деформациях изгиба и кручения упругих оболочек, имеющих форму винтовой поверхности”, Пробл. мех. деформ. тверд. тела, Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Н. Ф. Морозова, изд-во СПбГУ, СПб, 2002, 130–136.
[23] Л. М. Зубов, М. И. Карякин, “Дислокации и дисклинации в нелинейно упругих телах с моментными напряжениями”, ПМТФ, 1990, № 3, 160–167.
[24] Л. М. Зубов, Л. М. Филиппова, “Теория оболочек с непрерывно распределенными дислокациями”, Доклады РАН, 344:5 (1995), 619–622.
[25] И. Ивенс, Р. Скейлак, Механика и термодинамика биологических мембран, Мир, М., 1982, 304 с.
[26] Кагава Ясуо, Биомембраны, Высшая школа, М., 1985, 303 с.
[27] Э. Картан, Риманова геометрия в ортогональном репере, М., 1960.
[28] Е. И. Кац, В. В. Лебедев, Динамика жидких кристаллов, Наука, М., 1988, 144 с.
[29] Э. Кренер, Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений, Мир, М., 1965, 103 с.
[30] А. И. Лурье, Теория упругости, Наука, М., 1970.
[31] А. И. Лурье, Нелинейная теория упругости, Наука, М., 1980.
[32] В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский, Линейная теория оболочек, Политехника, Л., 1991, 656 с.
[33] В. В. Новожилов, В. А. Шамина, “О кинематических граничных условиях в задачах нелинейной теории упругости”, Изв. АН СССР. МТТ, 1975, № 5, 63–74.
[34] В. Г. Осмоловский, Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды, СПб, 2000.
[35] В. А. Пальмов, “Основные уравнения теории несимметричной упругости”, ПММ, 28:3 (1964), 401–408.
[36] К. Трусделл, Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды, Мир, М., 1975.
[37] К. Ф. Черных, В. А. Шамина, “Некоторые вопросы нелинейной классической теории тонких стержней и оболочек”, Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин, Л., 1975, 99–103.
[38] Л. И. Шкутин, Механика деформаций гибких тел, Наука, Новосибирск, 1988, 127 с.
[39] S. S. Antman, Nonlinear Problems of Elasticity, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York et al, 1995, 751 pp.
[40] Cosserat {E. et F.}, The?orie des corps deformables, Paris, 1909.
[41] A. C. Eringen, Microcontinuum Field Theories, v. I, Foundations and Solids, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York et al, 1999, 325 pp.
[42] M. E. Gurtin, Thermomechanics of Evolving Phase Boundaries in the Plane, Clarendon-Press, Oxford, 1993, 149 pp.
[43] M. E. Gurtin, Configurational Forces as Basic Concepts of Continuum Physics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York et al, 2000, 249 pp.
[44] W. T. Koiter, “Couple–stresses in the theory of elasticity”, Pt I–II, Proc. Koninkl. Neterland. Akad. Wetensh (V), 67, no. 1, 1964, 17–44.
[45] F. M. Leslie, J. C. Laverty, “Continuum theory for biaxial nematic liquid crystals”, Nonlinear Elasticity and Theoretical Mechanics, In honour of A. E. Green, eds. P. M. Naghdi, A. J. M. Spencer, A. H. England, Oxford University Press, Oxford, New York, Tokyo, 1994, 79–89 pp.
[46] W. Nowacki, Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon-Press, Oxford,New-York, Toronto et al, 1986, 383 pp.
[47] W. Pietraszkiewicz, Finite Rotations and Langrangian Description in the Non-Linear Theory of Shells, Warszawa, 1979.
[48] W. Pietraszkiewicz, “Geometrically nonlinear theories of thin elastic shells”, Advances in Mechanics, 12:1 (1989), 51–130.
[49] H. Pleiner, H. R. Brand, “Nonlinear hydrodynamics of strongly deformed smectic $C$ and $C^?$ liquid crystals”, Physicа A., 265 (1999), 62–77.
[50] R. A. Toupin, “Theories of elasticity with couple–stress”, Arch. Ration. Mech. Anal., 17:2 (1964), 85–112.
[51] L. M. Zubov, Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York et al, 1997, 205 pp.
[52] L. M. Zubov, “Nonlinear Theory of Isolated and Comtinuosly Distributed Dislocations in Elastic Shells”, Archives of Civil Engineering, XLV:2 (1999), 385–396.
[53] L. M. Zubov, “Semi-inverse solutions in nonlinear theory of elastic shells”, Arch. Mech., 53:4–5 (2001), 599–610.

К содержанию выпуска