Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Численный эксперимент в турбулентности (к 100-летию академика О.М. Белоцерковского)


С.В. Фортова

2025, выпуск 2, С. 148–193
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202512


Аннотация
В работе представлены основные результаты по численному моделированию турбулентных течений, выполненные под руководством академика О.М. Белоцерковского и продолженные его учениками. Для задачи о сдвиговом слое жидкости проанализирован процесс образования пространственной турбулентности и развитого масштабного турбулентного течения. Показано, что в формировании прямого энергетического каскада Колмогорова ведущая роль принадлежит крупным вихрям (гипотеза Белоцерковского). При исследовании режимов двумерного течения вязкой слабосжимаемой жидкости под действием внешней периодической по обоим координатам силы – модифицированное течение Колмогорова – были использованы и апробированы различные методы анализа гидродинамических характеристик. Реализованные подходы позволяют указать, какой из режимов течения: ламинарный, хаотический и вихревой – может наблюдаться при выборе коэффициента донного трения, амплитуды и силы накачки. Для модифицированного течения Колмогорова численно продемонстрировано развитие обратного каскада энергии, характерного для вихревых течений в двумерной турбулентности. В задаче о течении несжимаемой вращающейся жидкости в кубе показано формирование столбовых вихрей и возникновение как прямого каскада энергии, характерного для трехмерной турбулентности, так и обратного, свойственного плоским потокам. Предложена модель и проведено численное моделирование эффекта эластической турбулентности, возникающего для малых числах Рейнольдса при наличии в потоке полимерной примеси.

Ключевые слова: численное моделирование, турбулентные течения, прямой и обратный каскады энергии, задача Колмогорова, квазидвумерные течения, сдвиговые течения, эластическая турбулентность.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Richardson L.F., “The supply of energy from and to atmospheric eddies”, Proc. Roy. Soc. London, 97A, (1920), 354–373.
[2] Колмогоров А.Н., “Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса”, Докл. АН СССР, 30:4, (1941), 299–303.
[3] Обухов А.М., “О распределении энергии в спектре турбулентного потока”, Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз., 5:4, (1941), 453–466.
[4] Физтеховский прорыв — угол атаки: к 80-летию со дня рождения академика О. М. Белоцерковского, Наука, М., 2006, 400 с.
[5] Белоцерковский О.М., Фортова С.В., “Макропараметры пространственных течений в свободной сдвиговой турбулентности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:6, (2010), 1126–1139.
[6] Белоцерковский О.М., Опарин А.М., Чечеткин В.М., Турбулентность: новые подходы, Наука, М., 2002, 285 с.
[7] Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Коньшин В.Н., “Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 27:4, (1987), 594–609.
[8] Kraichnan R.H., “Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence”, Phys. Fluids, 10, (1967), 1417–1423.
[9] Арнольд В.И., Мешалкин Л.Д., “Семинар А.Н. Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958–1959)”, УМН, 15:1, (1960), 247–250.
[10] Бондаренко Н.Ф., Гак М.З., Должанский Ф.В., “Лабораторная и теоретическая модели плоского периодического течения”, Изв. АН, ФАО, 15 (10), (1979), 1017–1026.
[11] Meshalkin, L., Sinai, I.G., “Investigation of the Stability of a Stationary Solution of a System of Equations for the Plane Movement of an Incompressible Viscous Liquid”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 25 (6), (1961), 1700–1705.
[12] Sivashinsky G., Yakhot V. Negative viscosity effect in largescale flows, Phys. Fluids, 28 (4), (1985), 1040–1042.
[13] Gotoh K., Yamada M., “The instability of rhombic cell flows”, J. Phys. Soc. Jpn., 53:10, (1984), 3395–3398.
[14] Bormashenko E., Shoval S., Negative-Viscosity Materials: Exploiting the Effect of Negative Mass Materials, v. 18, 2025, 1199 pp.
[15] Sommeria J., “Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box”, Journal of Fluid Mechanics, 170 (September 1986), 139–168.
[16] Smith L.M., Yakhot V., “Finite-size effects in forced two-dimensional turbulence”, J. Fluid Mech., 274, (1994), 115–138.
[17] Borue V., “Inverse energy cascade in stationary two-dimensional homogeneous turbulence”, Phys. Rev. Lett., 72 (10), (1994), 1475–1478.
[18] Clercx H.J.H., Nielsen A.H., Torres D.J., Coutsias E.A., “Two-dimensional turbulence in square and circular domains with no-slip walls”, Eur. J. Mech. B-Fluids, 20, (2001), 557–576.
[19] Molenaar D., Clercx H.J.H., Heijst G.J.F. van, Physica D, 196, (2004), 329–340.
[20] Xia H., Shats M., Falkovich G., “Spectrally condensed turbulence in thin layers”, Phys. Fluids, 21, (2009), 125101.
[21] Francois N., Xia Y., Punzmann H., Ramsden S., Shats M., “Three-Dimensional Fluid Motion in Faraday Waves: Creation of Vorticity and Generation of Two-Dimensional Turbu-lence”, Phys. Rev. X, 4, (2014), 021021.
[22] Tsang Yue-Kin, William R. Young, “Forced-dissipative two-dimensional turbulence: a scaling regime controlled by drag”, Physical Review E, 79, (2009), 045308(R).
[23] Tsang Yue-Kin, “Non-universal velocity probability densities in forced two-dimensional turbulence: the effect of large-scale dissipation”, Physics of Fluids, 22, (2010), 115102.
[24] Chertkov M., Connaughton C., Kolokolov I., Lebedev V., “Dynamics of Energy Condensation in Two-Dimensional Turbulence”, Phys. Rev. Lett, 99, (2007), 084501.
[25] Kolokolov I.V., Lebedev V.V., “Structure of coherent vortices generated by the inverse cascade of two-dimensional turbulence in a finite box”, Phys. Rev. E, 93, (2016), 033104.
[26] Kolokolov I.V., Lebedev V.V., “Coherent vortex in two-dimensional turbulence: Interplay of viscosity and bottom friction”, Phys. Rev. E, 102, (2020), 023108.
[27] Mishra P.K., Herault J., Fauve S., Verma M.K., “Dynamics of reversals and condensates in two-dimensional Kolmogorov flows”, Phys. Rev. E, 91, (2015), 053005.
[28] Fylladitakis E.D., “Kolmogorov Flow: Seven Decades of History”, Journal of Applied Mathematics and Physics, 6, (2018), 2227–2263.
[29] Doludenko A.N., Fortova S.V., Kolokolov I.V., Lebedev V.V., “Coherent vortex versus chaotic state in two-dimension turbulence”, Annals of Physics, 447 part 2, (2022), 169072.
[30] Doludenko A.N., Fortova S.V., Kolokolov I.V., Lebedev V.V., “Coherent vortex in a spatially restricted two-dimensional turbulent flow in absence of bottom friction”, Physics of Fluids, 33, (2021), 011704.
[31] Посудневская А.О., Фортова С.В., Долуденко А.Н., Колоколов И.В., Лебедев В.В., “Численное исследование переходных режимов течения Колмогорова в квадратной ячейке”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 64:9, (2024), 1727–1736.
[32] Pletcher R.H., Tannehill J.C., Anderson D.A., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 3rd ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 2013.
[33] MacCormack R.W., “The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering”, 4th Aero-dynamic Testing Conference, 28 April 1969 – 30 April 1969 (Cincinnati, OH), 1969, AIAA Paper.
[34] Fock V., “Konfigurationsraum und zweite Quantelung”, Z. Physik., 75, (1932), 622–647.
[35] Guzev M.A., Fortova S.V., Doludenko A.N., Posudnevskaya A.O., Ermakov A.D., “Maslov rank distributions for the analysis of two-dimensional and quasi-two-dimensional turbulent flows”, Russian journal of mathematical physics, 31:3, (2024), 438–449.
[36] Guzev M.A., Doludenko A.N., Ermakov A.D., Posudnevskaya A.O., Fortova S.V., “Direct numerical simulation and rank analysis of two-dimensional Kolmogorov-type vortex flows”, Supercomputing frontiers and innovations, 12:1, (2025), 43–59.
[37] Auerbach F., “Das Gesetz der Bevolkerungskonzentration”, Petermanns geographische mit-teilungen, 59, (1913), 74–76.
[38] Lotka A.J., “The frequency distribution of scientific productivity”, Journal of Architectural and Planning Research, 1926.
[39] Gleason H.A., “The significance of Raunkiaer’s law of frequency”, Ecology, 10:4, (1929).
[40] Gutenberg B., Richter C. F., “Frequency of earthquakes in California”, Bull. Seismol. Soc. Am., 34, (1944).
[41] Zipf G.K., Human Behavior And The Principle Of Least Effort, Addison-Wesley Press, 1949.
[42] Пузаченко Ю.Г., “Ранговые распределения в экологии и неэкстенсивная статистическая механика”, Сборник трудов Зоологического музея МГУ им. М. В. Ломоносова, 54, (2016), 42–71.
[43] Mandelbrot B., “Statistical Macro-Linguistics”, Il Nuovo Cimento, 13, (1959), 518–520.
[44] Lees R.B., “Logique, langage et theorie de l’information by Leo Apostel, Benoit Mandelbrot, and Albert Morf”, Source: Language, 35, (1959), 271–303.
[45] Колмогоров А. Н., “Три подхода к определению понятия “количество информации”, Пробл. передачи информ., 1:1, (1965), 3–11.
[46] Маслов В.П., “Об одной общей теореме теории множеств, приводящей к распределению Гиббса, Бозе-Эйнштейна, Парето и закону Ципфа Мандельброта для фондового рынка”, Мат. заметки, 78:6, (2005), 870–877.
[47] Тумачев Д.Д., Филатов С.В., Вергелес С.С., Левченко А.А., “Два режима динамики когерентных столбовых вихрей во вращающейся жидкости”, Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 118:6, (2023), 430–437.
[48] Campagne A., Gallet B., Moisy F., Cortet P.P., “Disentangling inertial waves from eddy turbulence in a forced rotating-turbulence experiment”, Phys. Rev. E, 91, (2015).
[49] Levina G.V., Moiseev S.S., Rutkevich P.B., “Hydrodynamic Alpha-Effect in a Convective System”, Non-Linear Instability, Chaos and Turbulence, Series Advances in Fluid Mechanics, 2000, 110–161.
[50] Yue-Kin Tsang, “Nonuniversal velocity probability densities in two-dimensional turbulence: The effect of large-scale dissipation”, Phys. Fluids, 22, (2010), 115102.
[51] Chertkov M., Connaughton C., Kolokolov I., Lebedev V., “Dynamics of energy condensation in two-dimensional turbulence”, Phys. Rev. Lett., 99, (2007), 084501.
[52] Steinberg V., “Elastic Turbulence: An Experimental View on Inertialess Random”, Flow. Annu. Rev. Fluid Mech., 53, (2021), 27–58.
[53] Shahmardi A, Zade S., Ardekani M. N., Poole R. J., Lundell F., Rosti M. E., Brandt L., “Turbulent duct flow with polymers.”, J. Fluid Mech., 859, (2019), 1057–1083.
[54] Belan S., Chernykh A., Lebedev V., “Boundary layer of elastic turbulence”, J. Fluid Mech. yr 2018, 855, 910–921.
[55] Zhang H.N., Li F.Ch., Cao Y., Tomoaki K., Yu B., “Direct numerical simulation of elastic turbulence and its mixing-enhancement effect in a straight channel flow”, Chin. Phys. B, 22:2, (2013), 024703.
[56] Groisman A, Steinberg V., “Stretching of polymers in a random three-dimensional flow”, Phys. Rev. Lett., 86, (2001), 934–937.
[57] Burghelea T, Segre E, Bar-Joseph I, Groisman A, Steinberg V., “Chaotic flow and efficient mixing in a microchannel with a polymer solution”, Phys. Rev. E, 69, (2004), 066305.
[58] Gan H.Y, Lam Y.C, Nguyen N.T., “Polymer-based device for efficient mixing of viscoelastic fluids”, Appl. Phys. Lett., 88, (2006), 224103.
[59] Traore B, Castelain C, Burghelea T., “Efficient heat transfer in a regime of elastic turbulence”, J. Non-Newton. Fluid Mech., 223:6, (2015).
[60] Whalley R., Abed W. M., Dennis D. J. C., Poole R. J., “Enhancing heat transfer at the micro-scale using elastic turbulence”, Theor. Appl. Mech. Lett., 5:3, (2015), 103–106.
[61] Abed W.M., Whalley R.D., Dennis D.J.C., Poole R.J., “Experimental investigation of the impact of elastic turbulence on heat transfer in a serpentine channel”, J. Non-Newton. Fluid Mech., 231, (2016), 68–78.
[62] Slutsky M., Steinberg V., “Effective mixing and emulsification of very viscous substances by elastic turbulence”, In Report on the Horowitz Foundation Grant 3355, Weizmann Inst. Sc., Rehovot, Israel, 2005.
[63] Poole R.J., Budhiraja B., Cain A.R., Scott P.A., “Emulsification using elastic turbulence”, J. Non-Newton. Fluid Mech., 177–78, (2012), 15–18.
[64] Clarke A., Howe A.M., Mitchell J., Staniland J., Hawkes‘L., Leepera K., “Mechanism of anomalously increased oil displacement with aqueous viscoelastic polymer solutions”, Soft Matter, 11, (2015), 3536–3541.
[65] Howe A. M., Clarke A., Giernalczyk D., “Flow of concentrated viscoelastic polymer solutions in porous media: effect of M(W) and concentration on elastic turbulence onset in various geometries”, Soft Matter, 11, (2015), 6419–6431.
[66] Mitchell J., Lyons K., Howe A.M., Clarke A., “Viscoelastic polymer flows and elastic turbulence in three-dimensional porous structures”, Soft Matter, 12, (2016), 460–468.
[67] Kurganov A., Tadmor E., “New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection–diffusion equations”, Journal of Computational Physics, 160, (2000), 241–282.
[68] Vaithianathan T., Robert A., Brasseur J. G., Collins L. R., “An improved algorithm for simulating three-dimensional, viscoelastic turbulence”, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 140, (2006), 3–22.
[69] Vaithianathan T., Collins L. R., “Numerical approach to simulating turbulent flow of a viscoelastic polymer solution”, J. Comput. Phys., 187, (2003), 1–21.
[70] Thomases B., Shelley M., Thiffeault J.-L., “A Stokesian viscoelastic flow: transition to oscillations and mixing”, Phys. D: Nonlinear Phenomena, 240, (2011), 1602–1614.
[71] Gupta A., Vincenzi D., “Effect of polymer-stress diffusion in the numerical simulation of elastic turbulence”, J. Fluid Mech., 870, (2019), 405–418.
[72] Alves M. A., Oliveira P. J., Pinho F. T., “Numerical methods for viscoelastic fluid flows”, Annu. Rev. Fluid Mech., 53, (2021), 509–541.
[73] Dubief Y., Terrapon V. E., White C. M., Shaqfeh E. S. G., Moin P., Lele S. K., “New answers on the interaction between polymers and vortices in turbulent flows”, Flow Turbul. Combust., 74, (2005), 311–329.
[74] Годунов С.К., Денисенко В.В., Ключинский Д.В., Фортова С.В., Шепелев В.В., “Исследование энтропийных свойств линеаризованной редакции метода Годунова”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 60:4, (2020), 639–651.
[75] Денисенко В.В., Фортова С.В., Лебедев В.В., Колоколов И.В., “Численное моделирование обратного влияния полимерной примеси на колмогоровское течение”, Компьютерные исследования и моделирование, 16:5, (2024), 1093–1105.
[76] Денисенко В.В., Фортова С.В., “Численное моделирование эластической турбулентности в ограниченной двумерной ячейке”, Сибирский журнал индустриальной математики, 26:1, (2023), 55–64.
[77] Denisenko V.V., Fortova S.V., “Application of a two-dimensional version of the linearized godunov scheme to the numerical simulation of the kolmogorov problem for a liquid polymer solution”, Siberian Electronic Mathematical Reports, 21:2, (2024), B64-B77.
[78] Oldroyd J.G., “On the formulation of rheological equations of state”, Proc. Roy. Soc. London Ser., A200, (1950), 523–541.
[79] Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля, 2-е изд., испр., МЦНМО, М., 2014, 584 с.
[80] Gouin H., “Remarks on the Lie derivative in fluid mechanics”, Journal of Non-Newtonian Fluid Mech, 150, (2023), 104347.
[81] С. де Гроот, Мазур П., Неравновесная термодинамика, Мир, М., 1964.

К содержанию выпуска