Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Обобщенный приведенный модуль


В. Н. Дубинин, Н. В. Эйрих

2002, выпуск 2, С. 150–164


Аннотация
Граничные приведенные модули двуугольников и треугольников составляют существенную часть метода экстремальных метрик и широко применяются в геометрической теории функций комплексного переменного. В настоящей работе показано, что с помощью емкостного подхода можно обобщить эти понятия до понятия граничного приведенного модуля многоугольника с произвольным числом вершин. Более того, мы объединяем понятия граничного и внутреннего приведенного модуля. Доказывается корректность определения такого обобщенного приведенного модуля и приводится ряд примеров. Рассматривается поведение приведенного модуля при расширении множества и при его конформном отображении. Доказан принцип симметрии и приводятся формулы для вычисления некоторых приведенных модулей. Получены новые простые принципы композиции для обобщенных приведенных модулей, содержащие, как частные случаи, известные ранее теоремы о разделяющем преобразовании и экстремальном разбиении областей.

Ключевые слова:

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] L. V. Ahlfors, A. Beurling, Conformal invariants and function-theoretic null-sets, Acta Math., 83:1-2 (1950), 101–129.
[2] В. К. Хейман, Многолистные функции, Изд-во иностр. лит., М., 1960.
[3] Дж. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, Изд-во иностр. лит., М., 1962.
[4] A. Pfluger, Extremalla?ngen und Kapazita?t, Comment. Math. Helv., 29 (1955), 120–131.
[5] H. Wittich, Zur Konformen Abbildung schlichter Gebiete, Math. Nachr., 16 (1958), 226–234.
[6] И.П. Митюк, Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения, Изв. вузов. Математика, 1964, № 2, 110–119.
[7] В. М. Миклюков, О некоторых граничных задачах теории конформных отображений, Сиб. матем. журн., 18:5 (1977), 1111–1124.
[8] Г. В. Кузьмина, Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы, Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 139, Ленинград, 1980.
[9] Г. В. Кузьмина, Об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с полосообразными областями в структуре траекторий, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 154, 1986, 110–129.
[10] Е. Г. Емельянов, К задачам об экстремальном разбиении, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 154, 1986, 76–89.
[11] Е. Г. Емельянов, О связи двух задач об экстремальном разбиении, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 160, 1987, 91–98.
[12] Г. В. Кузьмина, К вопросу об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с концевыми областями в структуре траекторий, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 168, 1988, 98–113.
[13] В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 168, 1988, 48–66.
[14] А. Ю. Солынин, Решение одной изопериметрической задачи Полиа–Сеге, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 168, 1988, 140–153.
[15] A. Baernstein II, A counterexample concerning integrability of derivatives of conformal mappings, J. Anal. Math., 53 (1989), 253–268.
[16] D. Gaier, W. Hayman, On the computation of modules of long quadrilaterals, Constr. Approx., 7 (1991), 453–467.
[17] Ch. Pommerenke, Boundary Behaviour of Conformal Maps, New York, 1992.
[18] L. Carleson, N. G. Makarov, Some results connected with Brennan's conjecture, Ark. Mat., 32:1 (1994), 33–62.
[19] В. Н. Дубинин, Некоторые свойства внутреннего приведенного модуля, Сиб. матем. журн., 35:4 (1994), 774–792.
[20] В. Н. Дубинин, Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи матем. наук, 49:1 (1994), 3–76.
[21] В. Н. Дубинин, Симметризация, функция Грина и конформные отображения, Зап. научн. семин. ПОМИ, 226, 1996, 80–92.
[22] Е. Г. Емельянов, Г. В. Кузьмина, Теоремы об экстремальном разбиении в семействах систем областей различных типов, Зап. научн. семин. ПОМИ, 237, 1997, 74–104.
[23] Г. В. Кузьмина, Методы геометрической теории функций I, II, Алгебра и анализ, 9:3 (1997), 41–103; 5, 1–50.
[24] В. Н. Дубинин, Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения, Зап. научн. семин. ПОМИ, 237, 1997, 56–73.
[25] В. Н. Дубинин, Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций, Докл. РАН, 363:6 (1998), 731–734.
[26] В. Н. Дубинин, Л. В. Ковалев, Приведенный модуль комплексной сферы, Зап. научн. семин. ПОМИ, 254, 1998, 76–94.
[27] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, Об экстремальном разбиении пространственных областей, Зап. научн. семин. ПОМИ, 254, 1998, 95–107.
[28] А. Ю. Солынин, Модули и экстремально-метрические проблемы, Алгебра и анализ, 11:1 (1999), 3–86.
[29] В. Н. Дубинин, Принцип мажорации для p-листных функций, Матем. заметки, 65:4 (1999), 33–541.
[30] Г. В. Кузьмина, К задачам об экстремальном разбиении в семействах систем областей общего вида, Зап. науч. семин. ПОМИ, 263, 2000, 157–186.
[31] Н. В. Эйрих, Приведенные модули n-угольников, Дальневосточная матем. школа-семинар им. академика Е. В. Золотова, Тез. Докл., Дальнаука, Владивосток, 2000, 116–117.
[32] J. Hersch, On the reflection principle and some elementary ratios of conformal radii, J. Anal. Math., 44 (1984/85), 251–268.
[33] М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, М., 1973.
[34] В. Н. Дубинин, Метод симметризации и трансфинитный диаметр, Сиб. матем. Журн., 27:2 (1986), 39–46.

К содержанию выпуска