Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


К геометрической теории реализации нелинейных управляемых динамических процессов в классе билинейных моделей второго порядка


А. В. Лакеев, Ю. Э. Линке, В. А. Русанов

2024, выпуск 2, С. 200-219
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202419


Аннотация
На базе геометрических конструкций тензорного произведения гильбертовых пространств строятся теоретико-системные основания для аналитического изучения необходимых и достаточных условий существования нелинейной дифференциальной реализации непрерывной бесконечномерной динамической системы (представленной пучком любой мощности управляемых траекторий) в классе билинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в сепарабельном гильбертовом пространстве. Билинейная восьмивариантная структура дифференциальных уравнений состояния исследуемой бесконечномерной динамической системы моделирует комбинированную нелинейность как от самой траектории, так и от скорости движения на этой траектории. В рамках геометрического решения данной задачи аналитически обосновываются тополого-метрические условия непрерывности проективизации нелинейного функционального оператора Релея-Ритца с вычислением фундаментальной группы его образа. Полученные результаты имеют потенциал для развития геометрической теории нелинейного анализа коэффициентно-операторных обратных задач неавтономных дифференциальных моделей полилинейных управляемых динамических систем высших порядков.

Ключевые слова: обратные задачи нелинейного системного анализа, тензорный анализ в гильбертовых пространствах, функциональный оператор Релея-Ритца, билинейная неавтономная дифференциальная реализация второго порядка.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Калман Р., Фалб П., Арбиб М., Очерки по математической теории систем, М., 1971.
[2] Ahmed N. U., Optimization and Identification of Systems Governed by Evolution Equations on Banach Space, New York, 1988.
[3] Далецкий Ю. Л., Фомин С. В., Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, М., 1983.
[4] Гольдман Н. Л., “Определение коэффициентов при производной по времени в квазилинейных параболических уравнениях в пространствах Гёльдера”, Дифференциальные уравнения, 48:12, (2012), 1597–1606.
[5] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 1. Функциональный анализ: Пер. с англ., М., 1977.
[6] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, М., 1977.
[7] Rusanov V. A., Daneev A. V., Lakeyev A. V., Linke Yu. E., “On the differential realization theory of nonlinear dynamic processes in Hilbert space”, Far East Journal of Mathematical Sciences, 97:4, (2015), 495–532.
[8] Русанов В. А., Данеев А. В., Линке Ю. Э., “ К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве” , Кибернетика и системный анализ, 53:4, (2017), 71–83.
[9] Ван дер Шафт А., “К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка” , Теория систем. Математические методы и моделирование, Сб. статей (ред. А.Н. Колмогоров, С.П. Новиков): Пер. с англ., М., 1989, 192–237.
[10] Лакеев А. В., Линке Ю.Э., Русанов В. А., “К структурной идентификации нелинейного регулятора нестационарной гиперболической системы”, Доклады РАН, 468:2, (2016), 143–148.
[11] Ramazanova A. T., Kuliyev H. F., Roesch A., “An inverse problem for determining right hand side of equations for hyperbolic equation of fourth order”, Advances in Differential Equations and Control Processes, 20:2, (2019), 143–161.
[12] Лакеев А. В., Линке Ю. Э., Русанов В. А., “К реализации полилинейного регулятора дифференциальной системы второго порядка в гильбертовом пространстве” , Дифференциальные уравнения, 53:8, (2017), 1098–1109.
[13] Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, М., 2014.
[14] Rusanov V. A., Lakeyev A. V., Banshchikov A. V., Daneev A. V., “On the bilinear second-order differential realization of a infinite-dimensional dynamical system: An approach based on extensions to M2-operators”, Fractal and Fractional (Special Issues: Nonlinear Functional Analysis and Applications), 7:4, (2023), 1–18.
[15] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1978.
[16] Русанов В. А., Антонова Л. В., Данеев В. А., “К обратным задачам нелинейного системного анализа. Бихевиористический подход” , Проблемы управления, 5, (2011), 14–21.
[17] Kaiser E., Kutz J. N., Brunton S. L., “Sparse identification of nonlinear dynamics for model predictive control in the low-data limit”, arXiv: 1711.05501v2 [math.OC] 30 Sep 2018.
[18] Русанов В. А., Шарпинский Д. Ю., “К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем”, Прикладная математика и механика, 74:1, (2010), 119–132.
[19] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972.
[20] Новиков С. П., Тайманов И. А., Современные геометрические структуры и поля, М., 2014.
[21] Энгелькинг Р., Общая топология, М., 1986.
[22] Дмитриев А. В., Дружинин Э. И., II. К теории прямых вычислительных алгоритмов параметрической идентификации линейных объектов, Сборник статей: Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления, Наука, Новосибирск, 1985, 218–225.
[23] Дмитриев А. В., Дружинин Э. И., “Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности”, Известия РАН. Теория и системы управления, 3, (1999), 44–52.
[24] Русанов В. А., Данеев А. В., Линке Ю. Э., “К оптимизации процесса юстировки модели дифференциальной реализации многомерной системы второго порядка”, Дифференциальные уравнения, 55:10, (2019), 1432–1438.
[25] Дьяченко М. И., Ульянов П. Л., Мера и интеграл, М., 1998.
[26] Лакеев А. В., Линке Ю. Э., Русанов В. А., “Метрические свойства оператора Релея – Ритца”, Известия вузов. Математика, 9, (2022), 54–63.
[27] Lakeyev A. V., Rusanov V. A., Daneev A. V., Aksenov Yu. D., “On realization of the superposition principle for a finite bundle of integral curves of a second-order bilinear differential system”, Advances in Differential Equations and Control Processes, 30:2, (2023), 169–197.
[28] Громов В. П., “Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах” , Доклады РАН, 394:3, (2004), 305–308.
[29] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, М., 1964.
[30] Лакеев А. В., Линке Ю. Э., Русанов В. А., “Оператор Релея – Ритца в обратных задачах полилинейных неавтономных эволюционных уравнений высших порядков” , Математические труды, 26:2, (2023), 162–176.
[31] Willems J. C., “System theoretic models for the analysis of physical systems”, Ric. Aut., 10, (1979), 71–106.
[32] Кабанихин С. И., Обратные и некорректные задачи, Новосибирск, 2009.
[33] Popkov Yu. S., “Controlled positive dynamic systems with an entropy operator: Fundamentals of the theory and applications”, Mathematics, 9, (2021), 2585, https://doi.org/10.3390/math9202585.
[34] Косов А. А., Семёнов Э. И., “ О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции диффузии”, Дифференциальные уравнения, 54:1, (2018), 108–122.

К содержанию выпуска