Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Задача о колебаниях в цепи связанных линейных осцилляторов с демпфирующей и антидемпфирующей границами


А.И. Гудименко, А.В. Лихошерстов

2023, выпуск 2, С. 161-177
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202314


Аннотация
Рассматривается задача о колебаниях конечной однородной цепи связанных гармонических осцилляторов при специальных граничных условиях, обеспечивающих устойчивый переток энергии от одного конца цепи к другому. Задача охватывает в качестве частных случаев классическую задачу о колебаниях цепи со свободным и закрепленным концами, а также задачу о колебаниях цепи с поглощающей и антипоглощающей границами. Поглощающие граничные условия используются при численном моделировании распространения волн для минимизации влияния нефизических границ. Получено точное аналитическое решение рассматриваемой задачи. Проведено ее исследование как динамической системы. В частности, дано описание инвариантных подпространств системы в исходных переменных. Исследованы колебательные свойства системы. Обнаружено и изучено явление значительного увеличения амплитуды низкочастотных колебаний при наличии в пространственных частотах изменения начальных данных максимальной частоты. Задача решается в переменных Шредингера. Решение представлено как в терминах бесконечных рядов бесселевых функций, так и в терминах конечных рядов элементарных функций, то есть посредством собственных колебаний системы.

Ключевые слова: цепь гармонических осцилляторов, точно решаемая динамика, переменные Шредингера, тепловой поток.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] A. Maradudin, E. Montroll, and G. Weiss, Theory of lattice dynamics in the harmonic approximation, Academic Press, New York and London, 1963.
[2] Thermal transport in low dimensions, Lecture Notes in Physics, 921, ed. S. Lepri, Springer International Publishing, 2016.
[3] А. М. Кривцов, “Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоничеком кристалле”, Доклады академии наук, 464:2 (2015), 162–166.
[4] O. S. Loboda, E. A. Podolskaya, D. V. Tsvetkov, and A. M. Krivtsov, “On the fundamental solution of the heat transfer problem in one-dimensional harmonic crystals”, Continuum Mech. Thermodyn., 33 (2021), 485–496.
[5] М. А. Гузев, “Закон Фурье для одномерного кристалла”, Дальневост. матем. журн., 20:1 (2018), 34–38.
[6] В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин, Основы теории колебаний, Наука, М., 1978.
[7] E. Schr?odinger, “Zur Dynamik elastisch gekoppelter Punktsysteme”, Annalen der Physik, 44 (1914), 916–934.
[8] F. R. Gantmakher, M. G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, AMS Chelsea Publishing, 2002.
[9] L. Halpern, “Absorbing Boundary Conditions for the Discretization Schemes of the One-Dimensional Wave Equation”, Mathematics of Computation, 38:158 (1982), 415–429.
[10] I. Alonso-Mallo and A. M. Portillo, “A proof of the well posedness of discretized wave equation with an absorbing boundary condition”, J. Numer. Math., 22:4 (2014), 271–287.
[11] E. Takizawa and K. Kobayasi, “Heat Flow in a System of Coupled Harmonic Oscillators”, Chinese J. Phys., 1:2 (1963), 59–73.
[12] K. Kobayasi and E. Takizawa, “Effect of a Light Isotopic Impurity on the Energy Flow in a System of One-Dimensional Coupled Harmonic Oscillators”, Chinese J. Phys., 2:2 (1964), 68–79.
[13] А. И. Гудименко, “Тепловой поток в одномерной полубесконечной гармонической решетке с поглощающей границей”, Дальневост. матем. журн., 20:1 (2020), 38–50.
[14] J. L. van Hemmen, Physics Reports, 65:2 (1980), 43–149.
[15] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, Изд. 6, URSS, 2017.
[16] C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Texts in Applied Mathematics 34, Springer, 2006.
[17] G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics. Volume XXX, AMS, Providence, Rhode Island, 2011.
[18] М. В. Федорюк, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М., 1985.
[19] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 2007.
[20] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, 2005.
[21] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1944.

К содержанию выпуска