Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Эффективный алгоритм Parareal для решения уравнения диффузии с дробной производной по времени


Султанов М.А., Мисилов В. Е., Нурланулы Е.

2022, выпуск 2, С. 245-251
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202233


Аннотация
Статья посвящена разработке эффективных параллельных алгоритмов решения начально-краевой задачи для уравнения диффузии с дробной производной по времени. Традиционные подходы к распараллеливанию основаны на декомпозиции пространственной области. Метод Parareal, напротив, основан на декомпозиции временной области и итеративной процедуре “предиктор-корректор''. Быстрый решатель на грубой сетке используется для построения начальных приближений для подзадач (решаемых точными решателями на более мелких сетках) и для корректировки решений подзадач. Подзадачи могут решаться независимо для каждого подынтервала времени. Это позволяет реализовать эффективные параллельные алгоритмы для различных высокопроизводительных архитектур. В настоящее время данный метод широко используется в задачах для классических дифференциальных уравнений с целыми порядками производных, гораздо реже используется для дробных уравнений. В данной работе алгоритм Parareal для решения начально-краевой задачи для уравнения диффузии с дробной производной по времени реализован для многоядерных процессоров с использованием технологии OpenMP. Проведены численные эксперименты для оценки эффективности параллельной реализации и сравнения алгоритма Parareal с традиционной декомпозицией в пространственной области.

Ключевые слова: дробная производная Капуто, уравнение диффузии с дробной производной по времени, параллельные вычисления, метод Parareal

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] J. T. Machado, A. Galhano, J. J. Trujillo, “Science metrics on fractional calculus development since 1966", Fract. Calc. Appl. Anal., 16, (2013), 479-500.
[2] M. A. Sultanov, D. K. Durdiev, A. A. Rahmonov, “Construction of an Explicit Solution of a Time-Fractional Multidimensional Differential Equation", Mathematics, 9, (2021), 2052.
[3] R. Metzler, J. H. Jeon, A. G. Cherstvy, E. Barkai, “Anomalous diffusion models and their properties: Non-stationarity, non- ergodicity, and ageing at the centenary of single particle tracking", Phys. Chem. Chem. Phys., 16, (2014), 24128-24164.
[4] P. de Luca, A. Galletti, H. Ghehsareh, L. Marcellino, M. Raei, “A GPU-CUDA frame-work for solving a two-dimensional inverse anomalous diffusion problem", Parallel Comput. Technol. Trends, 36, (2020), 311.
[5] X. Yang, L. Wu, “A New Kind of Parallel Natural Difference Method for Multi-Term Time Fractional Diffusion Model", Mathematics, 8:4, (2020), 596.
[6] M. A. Sultanov, E. N. Akimova, V. E. Misilov, Y. Nurlanuly, “Parallel Direct and Iterative Methods for Solving the Time-Fractional Diffusion Equation on Multicore Processors", Mathematics, 10(3), (2022), 323.
[7] J. L. Lions, Y. Maday, G. Turinici, “A “parareal" in time discretization of PDEs", C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 332, (2001), 661-668.
[8] Q. Xu, J. S. Hesthaven, F. Chen, “A parareal method for time-fractional differential equations", J. Comp. Phys., 293, (2015), 173-183.
[9] Y. Zhang, “A finite difference method for fractional partial differential equation", Appl. Math. Comput., 215, (2009), 524-529.
[10] A. A. Samarskii, E. S. Nikolaev, Numerical methods for grid equations, Volume I Direct Methods, Birkhauser Basel, Switzerland, 1989, XXXV, 242 pp.
[11] H. Fu, H. Wang, “A preconditioned fast Parareal finite difference method for space-time fractional partial differential equation", J. Sci. Comput., 78:3, (2018), 1724-1743.

К содержанию выпуска