Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Усиление одной теоремы Бургейна – Конторовича


И.Д. Кан

2020, выпуск 2, С. 164–190
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202018


Аннотация
В настоящей работе доказывается следующее. Пусть $\mathfrak{D}(N) $ – множество не превосходящих $N$ несократимых знаменателей тех рациональных чисел, которые представимы конечными цепными дробями, все неполные частные которых принадлежат алфавиту $\{1,2,3,5\}$. Тогда выполнено неравенство $|\mathfrak{D}(N)|\gg N^{0.99}$. Расчет, произведенный по оригинальной теореме Бургейна\,--\,Конторовича 2011 года, дает ответ $|\mathfrak{D}(N)|$ $\gg N^{0.80}$.

Ключевые слова: цепная дробь, тригонометрическая сумма, гипотеза Зарембы, хаусдорфова размерность

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] S. K. Zaremba, “La methode des” bons treillis” pour le calcul des integerales multiples”, Applications of number theory to numerical analysis (Montreal, Canada, 1971), Academic Press, New York, 1972, 39–119.
[2] Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, Физматгиз, М., 1963.
[3] H. Niederreiter, “Dyadic fractions with small partial quotients”, Monatsh. Math., 101:4, (1986), 309–315.
[4] D. Hensley, “A polynomial time algorithm for the Hausdor? dimension of continued fraction Cantor sets”, J. Number Theory, 58:1, (1996), 9–45.
[5] J. Bourgain, A. Kontorovich, “On Zaremba’s conjecture”, Annals of Math., 180, (2014), 137–196.
[6] N. G. Moshchevitin, On some open problems in diophantine approximation, Preprint available at arXiv: abs/1202.4539, 4 [math. NT].
[7] D. Hensley, “The Hausdor? dimensions of some continued fraction cantor sets”, J. Number Theory, 33:2, (1989), 182–198.
[8] D. A. Frolenkov, I. D. Kan, A reinforsment of the Bourgain – Kontorovich’s theorem by elementary methods, Preprint available at arXiv: abs/1207.4546 [math. NT].
[9] D. A. Frolenkov, I. D. Kan, A reinforsment of the Bourgain – Kontorovich’s theorem, Preprint available at arXiv: abs/1207.5168 [math. NT].
[10] И. Д. Кан, Д. А. Фроленков, “Усиление теоремы Бургейна – Конторовича”, Известия РАН. Серия математическая, 78:2, (2014), 87–144.
[11] D. A. Frolenkov, I. D. Kan, “A strengthening of a theorem of Bourgain – Kontorovich - II”, Moskow Journal of Combinatorics and Number Theory, 4:1, (2014), 78–117.
[12] И. Д. Кан, “ Усиление теоремы Бургейна – Конторовича - III”, Известия РАН. Серия математическая, 79:2, (2015), 77–100.
[13] И. Д. Кан, “ Усиление теоремы Бургейна – Конторовича - IV”, Известия РАН. Серия математическая, 80:6, (2016), 103–126.
[14] И. Д. Кан, “ Усиление теоремы Бургейна – Конторовича - V”, Сборник трудов МИАН им. В. А. Стеклова, 296, (2017), 133–139.
[15] И. Д. Кан, “ Верна ли гипотеза Зарембы?”, Математический сборник, 210:3, (2019), 75–130.
[16] D. Shkredov, Growth in Chevalley groups relatively to parabolic subgroups and some ap- plications, Preprint available at arXiv:2003.12785.
[17] Nikolay Moshchevitin, Brendan Murphy, Ilya Shkredov, “Popular products and continued fractions”, Israel J. Math., 2020, 1–29.
[18] Nikolay Moshchevitin, Ilya Shkredov, On a modular form of Zaremba’s conjecture, arXiv:1911.07487.
[19] O. Jenkinson, “On the density of Hausdor? dimensions of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture”, Stochastics and Dynamics, 4, (2004), 63–76.
[20] R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley Reading, MA, 1994.
[21] Р. Вон, Метод Харди – Литтлвуда, Мир, М., 1985, 184 с.
[22] И. Д. Кан, “ Обращение неравенства Коши – Буняковского – Шварца”, Математические заметки, 99:3, (март 2016), 350–354.
[23] С. В. Конягин, “Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и сумм Гаусса”, IV Международная конференция “Современные проблемы теории чисел и ее приложения”, посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова: Актуальные проблемы, (Тула, 2001), ч. III, МГУ, мехмат, М., 2002, 86–114.
[24] Н. М. Коробов, Тригонометрические суммы и их приложения, Гл. ред. физ.-мат. лит., 240 с.

К содержанию выпуска