Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Решение функциональных уравнений, связанных с эллиптическими функциями. III


А.А. Илларионов, Н.В. Маркова

2019, выпуск 2, С. 197–205


Аннотация
Решается функциональное уравнение $$f_1(x_1+z)\ldots f_{s-1}(x_{s-1}+z)f_s(x_1+\ldots+x_{s-1}-z)=\sum_{j=1}^{m}\phi_j(x_1,\ldots,x_{s-1})\psi_j(z),$$ относительно неизвестных функций $f_1,\ldots,f_s:\CC\to\CC$, $\phi_j:\CC^{s-1}\to\CC$, $\psi_j:\CC\to\CC$ в случаях, когда $s\ge 3$, а $m\le 2s-1$. Все неэлементарные решения имеют вид: $$f_j(z)=\sigma(z+z_j)\exp(\alpha z^2+\beta_j z+\gamma_j),$$ где $\sigma$-сигма-функция Вейерштрасса, а $z_j,\alpha,\beta_j,\gamma_j\in\CC$. Ранее такие результаты были известны при $m\le s+1$. Рассматриваемое уравнение возникает при изучении полилинейных функционально-дифференциальных операторов и векторных теорем сложения.

Ключевые слова: теоремы сложения, функциональные уравнения, сигма-функция Вейерштрасса, тета-функция, эллиптические функции

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] В.М. Бухштабер, Д.В. Лейкин, “Трилинейные функциональные уравнения”, УМН, 60:2, (2005), 151–152.
[2] В.М. Бухштабер, Д.В. Лейкин, “Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых”, Тр. МИАН, 251, (2005), 54–126.
[3] В.М. Бухштабер, И.М. Кричевер, “Интегрируемые уравнения, теоремы сложения и проблема Римана-Шоттки”, УМН, 61:1, (2006), 25–84.
[4] R. Rochberg, L. Rubel, “A Functional Equation”, Indiana Univ. Math. J., 41:2, (1992), 363–376.
[5] M. Bonk, “The addition theorem of Weierstrass’s sigma function”, Math. Ann., 298:1, (1994), 591–610.
[6] M. Bonk, “The Characterization of Theta Functions by Functional Equations”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 65, (1995), 29–55.
[7] M. Bonk, “The addition formula for theta function”, Aequationes Math., 53:1–2, (1997), 54–72.
[8] В.А. Быковский, “Гиперквазимногочлены и их приложения”, Функц. анализ и его прил., 50:3, (2016), 34–46.
[9] А.А. Илларионов, “Функциональное уравнение и сигма-функция Вейерштрасса”, Функц. анализ и его прил., 50:4, (2016), 43–54.
[10] А.А. Илларионов, “Решение функциональных уравнений, связанных с эллиптическими функциями”, Аналитическая теория чисел, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Тр. МИАН, 299, (2017), 105–117.
[11] А.А. Илларионов, М.А. Романов, “Гиперквазимногочлены для тэта-функции”, Функц. анализ и его прил., 52:3, (2018), 84–87.
[12] А.А. Илларионов, “О полилинейном функциональном уравнении”, Матем. заметки, (в печати).
[13] А.А. Илларионов, “Решение функциональных уравнений, связанных с эллиптическими функциями. II”, Сиб. электрон. матем. изв., 16, (2019), 481–492.
[14] А.А. Илларионов, “Гиперэллиптические системы последовательностей ранга 4”, Матем. сб., 210:9, (2019), 59–88.

К содержанию выпуска