Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов


В.А. Быковский

2019, выпуск 1, С. 10-19


Аннотация
Пусть $E^{(\alpha; s)}$ – класс периодических функций вида $$ f(x_1, \dots, x_s)=\sum_{(m_1, \dots, m_s)\in \mathbb{Z}^s} c(m_1, \dots, m_s)\exp\left(2\pi i(m_1 x_1+\dots+ m_s x_s)\right)$$ с $$\left|c(m_1, \dots, m_s)\right|\leq \prod_{j=1} \left(\text{max} (1, |m_j|)\right)^{-\alpha},$$ где $1< \alpha < \infty$. В работе при любом натуральном $1< N < \infty$ доказывается неулучшаемая оценка $$R_N\left(E^{(\alpha; s)}\right)\ll_{\alpha, s} \frac{\left(\log N\right)^{s-1}}{N^\alpha}$$ для погрешности наилучшей кубатурной формулы на классе $E^{(\alpha; s)}$, содержащей $N$ узлов и весов. Подобного рода результаты доказаны и для других классов функций.

Ключевые слова: кубатурные формулы, анизотропные классы функций

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] С. М. Никольский, Квадратурные формулы, Наука, М., 1974.
[2] Н. М. Коробов, “Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел”, Докл. АН СССР, 115:6, (1957), 1062–1065.
[3] Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, МЦНМО, М., 2004.
[4] Н. М. Коробов, “О приближенном вычислении кратных интегралов”, Докл. АН СССР, 124:6, (1959), 1207–1210.
[5] Н. С. Бахвалов, “О приближенном вычислении кратных интегралов”, Вестник МГУ, 6, (1959), 3–18.
[6] Н.М. Коробов, “Квадратурные формулы с комбинированными сетками”, Мат. заметки, 55:2, (1994), 83–90.
[7] И. Ф. Шарыгин, “Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций”, Выч. матем. и матем. физики, 3, (1963), 370–376.
[8] К.К. Фролов, “Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций”, Докл. АН СССР, 231:4, (1976), 818–821.
[9] В. А. Быковский, О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток, АН СССР. Дальневосточный научный центр. Вычислительный центр, Владивосток, 1985, 31 с.
[10] М. М. Skriganov, “Constructions of uniform distributions in terms of geometry of numbers”, Алгебра и анализ, 6:3, (1994), 200–230.
[11] В. А. Быковский, Оценки отклонений оптимальных сеток в норме и теория квадра- турных формул, Дальнаука, Владивосток, 1995, 19 с.
[12] В. Н. Темляков, “Об оценках погрешностей квадратурных формул для классов функций с ограниченной смешанной производной”, Мат.заметки, 46, (1989), 128–134.
[13] В. Н. Темляков, “Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул”, Мат. сб., 181:10, (1990), 1403–1413.
[14] В. С. Касселс, Введение в геометрию чисел, Мир, М., 1965; Англ. перевод: J. W. S. Cassels, An introduction to the geometry of numbers, Springer-Verlag, 1959.
[15] З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, М., 1985.
[16] С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, Наука, М., 1977.

К содержанию выпуска