Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


О последовательности Сомос-4


А.А. Илларионов

2018, выпуск 2, С. 183-188


Аннотация
В 2005 г. A.N.W. Hone получил явную формулу для последовательностей Сомос-4, не содержащих нулевых членов, в терминах сигма-функции Вейерштрасса. Мы доказываем, что произвольная последовательность, удовлетворяющая уравнению Сомос-4, определяется такой же формулой, если и только если она удовлетворяет некоторому детерминантному тождеству (аналог формулы сложения). Приводятся примеры последовательностей, которые удовлетворяют уравнению Сомос-4 и не удовлетворяют этому детерминантному тождеству.

Ключевые слова: последовательности Сомоса, эллиптические функции, теоремы сложения

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] M. Ward, “Memoir on elliptic divisibility sequences”, Amer. J. Math., 70, (1948), 31–74.
[2] R. M. Robinson, “Periodicity of Somos sequences”, Proc. AMS, 116:3, (1992), 613–619.
[3] R. Shipsey, Elliptic Divisibility Sequences, PhD Thesis, L.: Univ. London, 2000.
[4] C. S. Swart, Elliptic curves and related sequences, PhD Thesis, L.: Royal Holloway, Univ. London, 2003.
[5] N. W. Hone, “Elliptic curves and quadratic reccurence sequences”, Bull. Lond. Math. Soc., 37, (2005), 161-171.
[6] J. van der Poorten, “Hyperelliptic curves, continued fractions, and Somos sequences”, Dynamics & Stochastics, Lecture Notes–Monograph Series, v. 48, ed. Denteneer, Dee and Hollander, Frank den and Verbitskiy, Evgeny, Institute of Mathematical Statistics, Beach- wood, Ohio, USA, 2006, 212–224.
[7] J. van der Poorten, C. S. Swart, “Recurrence relations for elliptic sequences: every Somos 4 is a Somos k”, Bull. Lond. Math. Soc., 38:4, (2006), 546–554.
[8] N. W. Hone, “Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences”, Trans. AMS, 359:10, (2007), 5019-5034.
[9] N. Hone, C. Swart, “Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 and Somos 5 sequences”, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 145:1, (2008), 65–85.
[10] N. Hone, “Analytic solutions and integrability for bilinear recurrences of order six”, Applicable Analysis: An International Journal, 89:4, (2010), 473–492.
[11] X.Ma, “Magic determinants of Somos sequences and theta functions”, Discrete Math., 210:1, (2010), 1–5.
[12] Y. Fedorov, A.N. Hone, “Sigma-function solution to the general Somos-6 recurrence via hyperelliptic Prym varieties”, Journal of Integrable Systems, 1:1, (2016).
[13] В.А. Быковский, А.В. Устинов, “Сомос-4 и эллиптические системы последовательностей”, ДАН, 471:1, (2016), 7–10.
[14] В.А. Быковский, “Гиперквазимногочлены и их приложения”, Функц. анализ и его приложения, 50:3, (2016), 34–46.
[15] А.А. Илларионов, “Функциональное уравнение и сигма-функция Вейерштрасса”, Функц. анализ и его приложения, 50:4, (2016), 43–54.

К содержанию выпуска