Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Геометрические формулировки законов сохранения континуальной механики


А.И. Гудименко

2018, выпуск 2, С. 150-176


Аннотация
Предлагаются формулировки законов баланса классической континуальной механики в терминах дифференциальных форм (баланс массы) и векторнозначных дифференциальных форм (балансы количества движения и энергии) на траектории материального континуума. Традиционные формулировки законов получаются как следствие предложенных формулировок. Уравнения балансов записываются в форме, пригодной для произвольного наблюдателя. Из предложенных формулировок выводится формулировка уравнения движения идеальной жидкости в терминах дифференциальных форм.

Ключевые слова: законы сохранения, векторнозначные формы, системы отсчета

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] W. Noll, “Materially uniform simple bodies with inhomogeneities”, Arch. Ration. Mech. Anal., 27, (1967), 1–32.
[2] C.-C. Wang, “On the geometric structures of simple bodies, a mathematical foundation for the theory of continuous distributions of dislocations”, Arch. Rational Mech. Anal., 27, (1967), 33–94.
[3] M. Epstein, The Geometrical Language of Continuum Mechanics, Cambridge University Press, 2010.
[4] G. Sardanashvily, Advanced Differential Geometry for Theoreticians, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.
[5] D.G.B. Edelen, “A four-dimensional formulation of defect dynamics and some of its consequences”, Int. J. Engng Sci., 18, (1980), 1095–1116.
[6] A. Yavari and A. Goriely, “Riemann–Cartan geometry of nonlinear disclination mechanics”, Arch. Rational Mech. Anal., 205, (2012), 59–118.
[7] A. Yavari, “A geometric theory of growth mechanics”, J. Nonl. Sci., 20, (2010), 781–830.
[8] T. Frankel, The geometry of physics: an introduction, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 2004.
[9] R. Segev and G. Rodnay, “Cauchy’s Theorem on Manifolds”, Journal of Elasticity, 56, (1999), 129–144.
[10] R. Segev, “Geometric analysis of hyper-stresses”, International Journal of Engineering Science, 100–118, (2017).
[11] M. Schoerl and K. Schlacher, “Covariant formulation of the governing equations of continuum mechanics in an eulerian description”, J. Math. Phys., 48, (2007), 052902.
[12] E. Kanso and et al, “On the geometric character of stress in continuum mechanics”, Z. angew. Math. Phys., 58, (2007), 1–14.
[13] G. Romano, R. Barretta, and M. Diaco, “Geometric continuum mechanics”, Meccanica, 49(1), (2014), 111–133.
[14] С.А. Лычев, К.Г. Койфман, “Геометрические аспекты теории несовместных деформаций простых структурно неоднородных тел переменного материального состава”, Дальневост. матем. журн., 17:2, (2017), 221–245.
[15] L. Mangiarotti and G. Sardanashvily, Connections in classical and quantum field theory, World Scientific, Singapore, NewJersey, London, Hong Kong, 2000.
[16] G. Giachetta, L. Mangiarotti, and G. Sardanashvily, Geometric formulation of classical and quantum mechanics, World Scientific, Singapore, 2011.
[17] C. Truesdell and R. Toupin, “The classical field theories”, Encyclopedia of Physics, ed. S. Flugge, Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1960.
[18] J. Ehlers, “The nature and structure of space-time”, The Physicist’s Conception of Nature, ed. J. Mehra, Raidel, Dordrecht, 1973, 71–91.
[19] R. Aris, Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Dover, New York, 1989.
[20] J.E. Marsden and T.J.R. Hughes, Mathematical foundations of elasticity, Dover, New York, 1983.
[21] H. Luo and T.R. Bewley, “On the contravariant form of the navier–stokes equations in time-dependent curvilinear coordinate systems”, Journal of Computational Physic, 199, (2004), 355–375.
[22] Y. Chen and X. Xie, “Vorticity vector-potential method for 3d viscous incompressible flows in time-dependent curvilinear coordinates”, Journal of Computational Physics, 312, (2016), 50–81.
[23] D. iVenturi, “Convective derivatives and reynolds transport in curvilinear time-dependent’s”, J. Phys. A: Math. Theor., 42, (2009), 125203.
[24] M. Charron, A. Zadra, and C. Girard, “Four-dimensional tensor equations for a classical fluid in an external gravitational field”, Q.J.R. Meteorol. Soc., 140, (2014), 908–916.
[25] D. Saunders, The Geometry of Jet Bundles, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
[26] R.S. Palais, The geometrization of physics, National Tsing Hua University, Hsinchu, Taiwan, 1981.
[27] R.W.R. Darling, Differential forms and connections, Cambridge University Press, 1994.
[28] J. Lee, Manifolds and Differential Geometry, Graduate studies in mathematics, 107, American mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2009.
[29] I. Kolar, P. Michor, and J. Slovak, Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.
[30] S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of differential geometry, v. 1, Interscience Publishers, New York, London, 1963.
[31] A. Jadczyk, J. Janyska, and M. Modugno, “Galilei general relativistic quantum mechanics revisited”, Geometria, F?sica-Matematica e outros Ensaios, eds. A.S. Alves, F.J. Craveiro de Carvalho, and J.A. Pereira da Silva, Univerzita Coimbra, Coimbra, 1998, 253–313.
[32] A. Bernal and M. Sanchez, “Leibnizian, Galilean and Newtonian structures of space-time”, J. Math. Phys., 44, (2003), 1129–1149.
[33] E. Cartan, “Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite eneralisee (premiere partie)”, Ann Ecole Norm Sup., 40, (1923), 325–412.
[34] E. Cartan, “Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee (suite)”, Ann Ecole Norm Sup., 41, (1924), 1–25.
[35] М.В. Федорюк, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М., 1985.
[36] A.L. Cauchy, “Recherches sur 1 equilibre et le mouvement interieur des corps solides ou fluides, elastiques ou non elastiques”, Bull. Soc. Philomath., 1823, 9–13.
[37] A.L. Cauchy, “De la pression ou tension dans un corps solide”, Ex. de math., 2, (1827), 42–56.
[38] A.L. Cauchy, “Sur les equations qui expriment les conditions d’equilibre, ou les lois du mouvement interieur d’un corps solide, elastique, ou non elastique”, Ex. de math., 3, (1828), 160–187.
[39] С.К. Годунов, Е.И. Роменский, Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, Научная книга, Новосибирск, 1998.
[40] A. Frolicher and A. Nijenhuis, “Theory of vector-valued differential forms. Part I”, Indagationes Math., 18(3), (1956), 338–359.

К содержанию выпуска