Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Метод погружения для решения задачи Штурма — Лиувилля в матричной постановке


О. В. Александрова, О. С. Громашева, Г. Ю. Косолапкин

2012, выпуск 2, С. 136–145


Аннотация
В работе предложен метод решения краевых волновых задач, описываемых системой уравнений Гельмгольца. Показано, что задача Штурма — Лиувилля с вырожденными матрицами в краевых условиях с помощью алгебраических преобразований приводится к виду с невырожденными матрицами, что позволяет получить матричные уравнения метода инвариантного погружения. Решение задачи Штурма — Лиувилля сводится к решению задачи Коши для матричного уравнения Риккати. Показано, что решение матричного уравнения Риккати можно строить для произвольных краевых условий, выбранных из соображений удобства, а решения для заданных краевых условий выражаются через решение эталонного матричного уравнения Риккати с помощью алгебраических преобразований. Также сформулировано уравнение для собственных значений задачи Штурма — Лиувилля, выраженное через решение матричного уравнения Риккати, и получено эволюционное уравнение для спектрального параметра задачи Штурма — Лиувилля.

Ключевые слова: задача Штурма — Лиувилля, матричное уравнение Риккати, метод погружения

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] S. Bramley , L. Dieci , R. D. Russell, “Numerical Solution of Eigenvalue Problems for Linear Boundary Value ODES”, Journal of Computational Physics, 94 (1991), 382–402.
[2] В. И. Кляцкин, Метод погружения в теории распространении волн, Наука, М., 1986, 284 с.
[3] В. И. Кляцкин, Стохастические уравнения: теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике, т. 1, Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения, ФИЗМАТЛИТ, М., 2008, 320 с.
[4] R. F. Pannatoni, “Coupled mode theory for irregular acoustic waveguides with loss”, Акуст. Журн., 51:1 (2011), 41–55.
[5] В.Н. Зырянов, “Вторичные тороидальные вихри Тейлора над возмущениями дна во вращающейся жидкости”, ДАН, 427:2 (2009), 192–198.
[6] В. А. Садовничий , Я. Т. Султанаев , А. М. Ахтямов, Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, Изд-во Московского университета, М., 2009, 183 с.
[7] К. В. Кошель, “Численное решение задачи тропосферного распространения коротких радиоволн для конечного поверхностного импеданса”, Радиотех. и Электр., 35:3 (1990), 647–649.
[8] Дж. Касти , Р. Калаба, Метод погружения в прикладной математике, Мир, М., 1973
[9] В. И. Голанд, К. В. Кошель, “Численное решение в задаче загоризонтного распространения ультра-коротких радиоволн для конечного поверхностного импеданса”, Радиотех. и Электр., 35:9 (1990), 1805–1809.
[10] В. И. Голанд, В. И. Кляцкин, “Асимптотический метод анализа стохастической задачи Штурма — Лиувилля. Метод погружения в теории распространении волн”, Акуст. Журн., 35:5 (1989), 942–944.
[11] R. Bellman, G. M.P. Wing, “An Introduction to Invariant Imbedding”, Classics in Applied Mathematics., 1992, № 8, SIAM, Philadelphia.
[12] А. И. Егоров, Уравнение Риккати, ФИЗМАТЛИТ, М., 2001, 328 с.[13] М. И. Зеликин, “К теории матричного уравнения Риккати”, Матем. сб., 182:7 (1991), 970–984.
[14] М. Х. Захар-Иткин, “Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований”, УМН, 28:3(171) (1973), 83–120.
[15] И. О. Ярощук, “О численном моделировании одномерных стохастических волновых задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 24:11 (1984), 1748–-1751.
[16] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, М., 2004, 560 с.

К содержанию выпуска