Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Соотношения между гипотетическими собственными значениями операторов Гекке на подмотивах многообразий Зигеля


Д. Ю. Логачев

2012, выпуск 1, С. 60–85


Аннотация
Существуют гипотетические соотношения между $L$-функциями подмотивов многообразий Шимуры и автоморфными представлениями соответствующих редуктивных групп, принадлежащие Ленглендсу – Артуру. В настоящей работе эти соотношения используются для получения явных соотношений между собственными числами p-операторов Гекке (образующих p-алгебры Гекке многообразия $X$) на пространствах когомологий некоторых таких подмотивов в случае, когда $X$ — многообразие Зигеля. Этот результат также является гипотетическим: методы подсчета точек на редукциях $X$, основанные на формуле следа Сельберга, не используются.
Полученные соотношения оказываются линейными, коэффициенты в них являются многочленами от $p$ и удовлетворяют простой рекуррентной формуле. Аналогичный результат может быть легко получен для произвольного многообразия Шимуры.
Представленный результат есть промежуточный шаг в обобщении теоремы Колывагина о конечности группы Тэйта – Шафаревича эллиптических кривых аналитического ранга 0 или 1 над $\mathbb{Q}$ на случай подмотивов других многообразий Шимуры, в частности, многообразий Зигеля рода 3, см. [9].
Идея доказательства: с одной стороны, упомянутые формулы Ленглендса – Артура дают (гипотетические) соотношения на числа Вейля подмотива; с другой стороны, отображение Сатаке позволяет преобразовывать эти соотношения в соотношения на собственные числа $p$-операторов Гекке на $X$.
Статья также содержит обзор некоторых близких вопросов, например, явного нахождения полиномов Гекке многообразия $X$. В приложении содержатся таблицы для случаев $g=2,3$.

Ключевые слова: многообразия Зигеля, подмотивы, соответствия Гекке,числа Вейля, отображение Сатаке

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] A. N. Andrianov, V. G. Zhuravlev, Modular forms and Hecke operators, (In Russian; English version: Andrianov A.N., Quadratic forms and Hecke operators. Springer, 1987), Moscow, 1990.
[2] J. Arthur, “Unipotent automorphic representations: conjectures”, Asterisque, 171-172 (1989), 13–71.
[3] J. Adams, J. F. Johnson, “Endoscopic groups and packets of non-tempered representations”, Compositio Math., 64 (1987), 271–309.
[4] D. Blasius, J. D. Rogawski, “Zeta functions of Shimura varieties”, Motives. Proc. of Symp. in Pure Math., 55:2 (1994), 525–571.
[5] O. Bultel, On the mod $\mathfrak{P}$-reduction of ordinary $CM$-points, Ph. D. thesis, Oxford, 1997.
[6] P. Deligne, “Travaux de Shimura”, Lect. Notes in Math., Seminaire Bourbaki 1970/71, Expose? 389, v. 244, 1971, 123–165.
[7] G. Faltings, Chai Ching-Li, Degeneration of abelian varieties, Springer, 1990.
[8] Jacobson, Lie algebras, v. 10, Interscience tracts in pure and applied mathematics, 1962.
[9] D. Logachev, “Reduction of a problem of finiteness of Tate – Shafarevich group to a result of Zagier type”, Far Eastern Math. Journal, 9:1-2 (2009), 105–130, arXiv: 0411346.
[10] Satake Ichiro, “Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over p-adic fields”, Publ. IHES, 1963, 229–293.
[11] D. Vogan, G. Zuckerman, “Unitary representations with non-zero cohomology”, Compositio Math., 53 (1984), 51–90.

К содержанию выпуска