Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Модули Бейкера – Ахиезера, пучки Кричевера и коммутативные кольца дифференциальных операторов в частных производных


А. Б. Жеглов, А. Е. Миронов

2012, выпуск 1, С. 20–34


Аннотация
В работе дается обзор результатов, связанных с коммутативными кольцами дифференциальных операторов в частных производных. Мы показываем, что $n$-мерному коммутативному кольцу дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами (с некоторыми ограничениями) отвечает модуль Бейкера – Ахиезера на спектральном алгебраическом многообразии. В работе также показано, что на спектральном многообразии существует семейство когерентных пучков без кручения специального вида. Наличие таких пучков — это сильное ограничение на структуру спектрального многообразия, в частности, наличие таких пучков позволяет найти индекс $n$-кратного самопересечения “бесконечно удаленного” дивизора.

Ключевые слова: коммутирующие дифференциальные операторы, спектральные многообразия, модули Бейкера – Ахиезера

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] И. М. Кричевер, “Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии”, Функц. анализ и его прилож., 11:1 (1977), 15–31.
[2] И. М. Кричевер, “Коммутативные кольца линейных обыкновенных дифференциальных операторов”, Функц. анализ. и его прилож., 12:3 (1978), 20–31.
[3] И. М. Кричевер, С. П. Новиков, “Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения”, Успехи матем. наук, 35:6 (1980), 47–68.
[4] О. И. Мохов, “Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения”, Известия АН СССР. Серия матем., 53:6 (1989), 1291–1314.
[5] А. Е. Миронов, “Об одном кольце коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающем кривой рода два”, Матем. сб., 195:5 (2004), 103–-114.
[6] А. Е. Миронов, “Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие кривой рода 2”, Функц. анализ и его прил., 39:3 (2005), 91-94.
[7] D. Zuo, “Commuting differential operators of rank 3 associated to a curve of genus 2”, arXiv: 1105.5774.
[8] И. М. Кричевер, “Алгебраические кривые и коммутирующие матричные дифференциальные операторы”, Функц. анализ и его прилож., 10:2 (1976), 75–77.
[9] Б. А. Дубровин, “Матричные конечнозонные операторы.”, Современные проблемы математики., 23, Итоги науки и техники (1983), 33–78.
[10] П. Г. Гриневич, “Векторный ранг коммутирующих матричных дифференциальных операторов. Доказательство критерия С. П. Новикова”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:3 (1986), 458–478.
[11] И. М. Кричевер, “Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений”, Успехи матем. наук, 32:6 (1977), 183–208.
[12] A. Kasman, E. Previato, “Commutative partial differential operators”, Physica D., 152–153 (2001), 66–77.
[13] O. Chalykh, A. Veselov, “Commutative rings of partial differential operators and Lie algebras”, Comm. Math. Phys., 126:3 (1990), 597–611.
[14] А. П. Веселов, М. В. Фейгин, О. А. Чалых, “Новые интегрируемые деформации квантовой задачи Калоджеро – Мозера”, Успехи матем. наук, 51:3 (1996), 185–186.
[15] В. М. Бухштабер, С. Ю. Шорина, “Коммутирующие дифференциальные многомерные операторы третьего порядка, задающие КдФ-иерархию”, Успехи матем. наук, 58:3 (2003), 187–188.
[16] S. L. Kleiman, “Toward a numerical theory of ampleness”, Annals of Math., 84 (1966), 293–344.
[17] У. Фултон, Теория пересечений, Мир, Москва, 1989.
[18] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, New York – Berlin – Heilderberg, 1977.
[19] A. Nakayashiki, “Commuting partial differential operators and vector bundles over Abelian varieties”, Amer. J. Math., 116 (1994), 65–100.
[20] A. Nakayashiki, “Structure of Baker – Akhiezer Modules of Principally Polarized Abelian varieties, Commuting Partial Differential Operators and Associated Integrable Systems”, Duke Math. J., 62:2 (1991), 315–358.
[21] A. B. Zheglov, “On rings of commuting partial differential operators”, arXiv: 1106.0765.
[22] A. N. Parshin, “Integrable systems and local fields”, Commun. Algebra, 29:9 (2001), 4157–4181.
[23] H. Kurke, D. Osipov, A. Zheglov, “Formal punctured ribbons and two-dimensional local fields”, Journal fu?r die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2009:629, 133–170.
[24] H. Kurke, D. Osipov, A. Zheglov, “Formal groups arising from formal punctured ribbons”, Int. J. of Math., 06 (2010), 755–797.
[25] D.V. Osipov, “The Krichever correspondence for algebraic varieties”, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 65:5 (2001), 91–128.
[26] А.Б. Жеглов, Д.В.Осипов, “О некоторых вопросах, связанных с соответствием Кричевера”, Мат. заметки, 81:4 (2007), 528–539.
[27] M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to Commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1969.
[28] N. Bourbaki, Algebre Commutative, Elements de Math., v. 27,28,30,31, Hermann, Paris, 1961–1965.
[29] A. Grothendieck, J. A. Dieudonne?, “E?le?ments de ge?ome?trie alge?brique II”, Publ. Math. I.H.E.S., 8 (1961).
[30] D. Mumford, The red book of varieties and schemes, Springer – Verlag, Berlin, Heidelberg, 1999.
[31] А. Е. Миронов, “Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с двумерными абелевыми многообразиями”, Сиб. мат. журнал, 41:6 (2000), 1389–1403.
[32] А. Е. Миронов, “Вещественные коммутирующие дифференциальные операторы, связанные с двумерными абелевыми многообразиями”, Сиб. мат. журнал, 43:1 (2002), 126–143.
[33] А. Е. Миронов, “Коммутативные кольца дифференциальных операторов, отвечающие многомерным алгебраическим многообразиям”, Сиб. матем. журнал, 43:5 (2002), 1102–1114.
[34] K. Cho, A. E. Mironov, A. Nakayashiki, “Baker – Akhiezer Modules on the Intersections of Shifted Theta Divisors”, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 47:2 (2011), 353–567.
[35] I. A. Melnik, A. E. Mironov, “Baker – Akhiezer modules on rational varieties”, SIGMA, 6 (2010), 030, 15 pp.

К содержанию выпуска