Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


О количестве вершин многогранников Клейна целочисленных решеток в среднем


А. А. Илларионов, Д. А. Слинкин

2011, выпуск 1, С. 48–55


Аннотация
Рассматриваются многогранники Клейна целочисленных $s$-мерных решеток определителя $N$. Выводится нижняя оценка для среднего значения количества вершин таких полиэдров, которая совпадает с известной верхней с точностью до константы, зависящей только от $s$. Из полученного результата, в частности, вытекает нижняя оценка для количества относительных минимумов.

Ключевые слова: многомерная непрерывная дробь, относительный минимум, многогранник Клейна

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Г. Ф. Вороной, Собрание сочинений в 3-х томах, АН УССР, Киев, 1952.
[2] H. Minkowski, “Generalisation de la theorie des fraction continues”, Ann. Sei. Ecole Norm. Sup., 1896, № 2, 41–60.
[3] F. Klein, “Ueber eine geometrische Auffassung der gewo?hlichen Kettenbruchentwichlung”, Nachr. Ges. Wiss. Go?ttingem., 1895, № 3, 357–359.
[4] В. А. Быковский, “Относительные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна”, Функц. анализ и его прил., 40:1 (2006), 69–71.
[5] В. И. Арнольд, Цепные дроби, МЦНМО, М., 2001.
[6] V. I. Arnold, “Higher dimensional continued fractions”, Nachr. Ges. Wiss. Gottingem., 1998, № 3, 10–17.
[7] В. А. Быковский, “О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул”, Чебышевский сборник, 3:2 (2002), 27–33.
[8] H. Heilbronn, “On the average length of a class of finite continued fractions, Number Theory and Analysis”, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), Plenum, New York, 1969, 87–96.
[9] А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 23 (2011) (в печати).
[10] А. А. Илларионов, “Статистические свойства многомерных аналогов непрерывных дробей”, Материалы XXII краевого конкурса молодых ученых, Изд-во Тихоокеан. гос. Ун-та, 2010, 5–16.
[11] М. О. Авдеева, “О нижних оценках количества локальных минимумов целочисленных решe?ток”, Фундамент. и прикл. матем., 11:6 (2005), 9–14.
[12] А. А. Илларионов, “Оценки количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток произвольного ранга”, ДАН, 418:2 (2008), 155–168.
[13] Дж. Касселс, Геометрия чисел, Мир, М., 1965, 211 с.
[14] Л. Даунер,Б. Грюнбаум,В. Кли, Теорема Хелли, Мир, М., 1968, 160 с.

К содержанию выпуска