Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Сведение проблемы конечности группы Шафаревича-Тэйта к многомерному аналогу одного результата Загира


Д.Ю. Логачев

2009, выпуск 1-2, С. 105–130


Аннотация
Колывагин доказал, что группа Шафаревича-Тэйта эллиптической кривой аналитического ранга 0 или 1, определённой над $\mathbb{Q}$, конечна. В работе предлагается программа обобщения этого результата на случай фактормотивов мотивов когомологий многомерных многообразий Шимуры. В первой части работы доказаны результаты, являющиеся первыми шагами этой программы. В частности, показано, как можно обойти препятствия, связанные с тем, что характеристический многочлен эндоморфизма Фробениуса в многомерном случае более сложен, чем в одномерном, и с тем, что размерность пространства когомологий в многомерном случае больше, чем в одномерном. Метод заключается во введении понятия псевдо-эйлеровых систем. Это понятие слабее, чем эйлеровы системы Колывагина в одномерном случае, однако достаточно для доказательства теоремы. Основная теорема нашей работы утверждает, что если нетривиальные псевдо-эйлеровы системы существуют, то группа Шафаревича-Тэйта конечна.
Проблема, однако, состоит в конструкции нетривиальных псевдо-эйлеровых систем. Здесь остаются многочисленные препятствия, которые автор оставляет как тему будущих исследований. Наиболее сложное препятствие — нахождение многомерного (то есть для случая многомерных многообразий Шимуры) аналога результата Загира о высоте точек Хегнера на модулярных кривых. Вторая часть работы состоит из гипотетических вычислений, показывающих, что нет никаких оснований думать, что нетривиальные псевдо-эйлеровы системы не существуют. Кроме того, в работе представлены гипотетические вычисления, дающие обобщение соотношений редукции Колывагина на многомерный случай.

Ключевые слова: многообразия Шимуры, группа Шафаревича-Тэйта, мотивы, псевдо-эйлеровы системы

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] V. A. Kolyvagin, “Finiteness of $E(\mathbb{Q})$ and $Sh(E,\mathbb{Q})$ for a subclass of Weil curves”, Math. USSR Izvestiya, 32:3 (1989), 523–541.
[2] V. A. Kolyvagin, “Euler systems”, The Grothendieck Festschrift, 2, Birkhauser, Boston Basel Stuttgart, 1990, 435–483.
[3] D. Logachev, Relations between conjectural eigenvalues of Hecke operators on submotives of Siegel varieties, arXiv: 0405442.
[4] D. Logachev, Action of Hecke correspondences on subvarieties of Shimura varieties, arXiv: 0508204.
[5] D. Logachev, “Action of Hecke correspondences on Heegner curves on a Siegel threefold”, J. of Algebra, 236:1 (2001), 307–348.
[6] Don Zagier, “Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms”, Workshop Bonn 1984 (Bonn, 1984), Lecture Notes in Math., 1111, Springer, Berlin, 1985, 225–248.
[7] B. H. Gross, W. Kohnen, D. B. Zagier, “Heegner points and derivatives of L-series, II”, Math. Ann., 278, 1987.
[8] J. Nekovar, “Kolyvagin's method for Chow groups of Kuga – Sato varieties”, Inv. Math., 107, 1992, 99–125.
[9] B. H. Gross, “Kolyvagin's work on modular elliptic curves”, L-functions and Arithmetic, Proceedings of the Durham Symposium (July, 1989), Cambridge Univ. Press, 1991, 235–256.
[10] P. Deligne, “Travaux de Shimura”, Seminaire Bourbaki 1970/71, Expose 389, Lect. Notes in Math., 244, 1971, 123–165.
[11] V. A. Kolyvagin, D. Yu. Logachev, “Finiteness of Shover totally real fields”, Math. USSR Izvestiya, 39:1 (1992), 829–853.
[12] S. Bloch, L. Kato, “L-functions and Tamagava numbers of motives”, The Grothendieck Festschrift, 1, Birkhauser, Boston Basel Stuttgart, 1990, 333–400.
[13] G. Faltings, Chai Ching-Li, Degeneration of abelian varieties, Springer, 1990.
[14] D. Blasius, J. D. Rogawski, “Zeta functions of Shimura varieties”, Motives. Proc. of Symp. in Pure Math., no. 2, 1994, 525–571 .
[15] A. Borel, N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, Mathematical Surveys and Monographs, 67, Second edition, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

К содержанию выпуска