Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Дефект слабой аппроксимации для однородных пространств. II


М.В. Боровой

2009, выпуск 1-2, С. 15–23


Аннотация
Пусть $X$ – правое однородное пространство связной линейной алгебраической группы $G'$ над полем алгебраических чисел $k$, содержащее $k$-точку $x$. Предположим, что стационарная подгруппа точки $x$ в $G'$ связная. Используя понятие квазитривиальной группы, введенное Кольо – Теленом, мы можем представить $X$ в виде $X = H?setminus G$, где $G$ – некоторая квазитривиальная $k$-группа и $H\subset G$ – ее связная $k$-подгруппа. Пусть $S$ – некоторое конечное множество нормирований поля $k$. Мы вычисляем дефект слабой аппроксимации для $X$ относительно $S$ в терминах наибольшего фактор-тора $H^{\rm tor}$ группы $H$. В частности, мы показываем, что если тор $H^{\rm tor}$ расщепляется над некоторым метациклическим расширением поля $k$, то однородное пространство $X$ обладает свойством слабой аппроксимации. Мы показываем также, что любое однородное пространство $X$ со связной стационарной подгруппой (без условий на $H^{\rm tor}$) обладает свойством вещественной аппроксимации.

Ключевые слова: линейные алгебраические группы, однородные пространства, слабая аппроксимация

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] M. Borovoi, “The defect of weak approximation for homogeneous spaces”, Ann. Fac. Sci. Toulouse, 8 (1999), 219–233.
[2] J.-L. Colliot-Thelene, “Resolutions flasques des groupes lineaires connexes”, J. reine angew. Math., 618 (2008), 77–133.
[3] M. Borovoi, “On weak approximation in homogeneous spaces of simply connected algebraic groups”, Automorphic Functions and Their Applications, Proceedings of Internat. Conf. (Khabarovsk, June 27–July 4, 1988), eds. N. Kuznetsov, V. Bykovsky, IAM FEB USSA AS, Khabarovsk, 1990, 64–81.
[4] J.-J. Sansuc, “Groupe de Brauer et arithmetique des groupes algebriques lineaires sur un corps de nombres”, J. reine angew. Math., 327 (1981), 12–80.
[5] R.E. Kottwitz, “Stable trace formula: Elliptic singular terms”, Math. Ann., 275 (1986), 365–399.
[6] J.-L. Colliot-Thelene and F. Xu, “Brauer – Manin obstruction for integral points of homogeneous spaces and representation by integral quadratic forms” (to appear).
[7] J.S. Milne, Arithmetic Duality Theorems, 2nd, BookSurge, LLS, Charleston, 2006.
[8] T.M. Schlank, Weak approximation for homogeneous spaces, M.Sc. thesis, Tel Aviv University, 2008.
[9] J.-L. Colliot-Thelene et B. Kunyavskii?, “Groupe de Picard et groupe de Brauer des compactifications lisses d'espaces homogenes”, J. Algebraic Geom., 15 (2006), 733–752.
[10] J. W. S. Cassels and A. Frolich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press, London, 1967

К содержанию выпуска