Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Экстремальные свойства полиномов Чебышёва


В. Н. Дубинин, С. И. Калмыков

2004, выпуск 2, С. 169–177


Аннотация
Методами геометрической теории функций установлены новые экстремальные свойства полиномов Чебышёва. Получены точные оценки коэффициентов, теоремы покрытия и неравенства для производных полиномов с вещественными коэффициентами и с криволинейной мажорантой на отрезке вещественной оси. Экстремалями в каждом случае являются полиномы Чебышёва второго, третьего либо четвертого рода. Доказанные теоремы обобщают некоторые классические результаты для алгебраических полиномов с ограничениями на отрезке. В качестве следствия приводится следующий аналог неравенства Шура
$$
\max\{|P(x)|: x \in [?1,1]\} \le (2n+1) \max\{| P(x) \sqrt{(1+x)/2} | : x \in [?1,1]\},
$$
справедливый для любых полиномов $P(x)$ степени $n$ с вещественными коэффициентами. Равенство достигается в случае полиномов Чебышёва третьего рода.

Ключевые слова: Chebyshev polynomial, polynomial nequality, Bernstein's inequality, Schur's inequality

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Я. Л. Геронимус, Теория ортогональных многочленов, ГИТТЛ, М., 1950.
[2] Г. Сеге, Ортогональные многочлены, ГИФМЛ, М., 1962.
[3] В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев, Конструктивная теория функций комплексного переменного, Наука, М.-Л., 1964.
[4] В. И. Лебедев, Функциональный анализ и вычислительная математика, Физматлит, М., 2000.
[5] В. В. Прасолов, Многочлены, МЦНМО, М., 2003.
[6] P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequalities, Grad. Texts in Math., 161, Springer-Verlag, New York, 1995.
[7] В. Н. Дубинин, “Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов”, Алгебра и анализ, 13:5 (2001), 16–43.
[8] В. Н. Дубинин, А. В. Олесов, “О применении конформных отображений к неравенствам для полиномов”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 286, 2002, 85–102.
[9] Q. I. Rahman, “On a problem of Turan about polynomials with curved majorants”, Trans. Amer. Math. Soc., 163 (1972), 447–455.
[10] M. A. Lachance, “Bernstein and Markov inequalities for constrained polynomials”, Lect. Notes Math., 1045, 1984, 125–135.
[11] Н. А. Лебедев, Принцип площадей в теории однолистных функций, Наука, М., 1975.
[12] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, М., 1966.

К содержанию выпуска